Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
движется. Однако, как и в классической механике, эта же система может
описываться таким образом, что ее базисные векторы поворачиваются с
течением времени, а вектор динамического состояния системы остается без
изменения. Этот способ формулировки квантовой механики, физически
эквивалентный представлению Шредингера,
16]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
95
называется представлением Гейзенберга. Очевидно, что если в
шредингеровском представлении операторы не зависят от времени, то для
того, чтобы эти два описания были физически эквивалентны друг другу,
необходимо, чтобы в гейзенберговском представлении эти операторы уже
зависели бы от времени.
Согласно приведенному выше определению векторы состояний системы в этих
двух представлениях связаны между собой соотношением (1.200):
I Ф, (I). ¦ - U (/, t0) | фн (*о)>. (1.214)
где индекс Н означает, что данная величина рассматривается в
представлении Гейзенберга. Вектор |фн(А))> стационарен (т. е. неподвижен
в кет-пространстве), а вектор |ф8 (0) является переменным вектором (т. е.
движется в кет-пространстве). Так как
U (t0, t0) = 1,
то в момент времени t = t0 векторы состояний в обоих представлениях
совпадают друг с другом.
Используя соотношения (1.214) и комплексно-сопряженное ему, нетрудно
получить выражение для среднего значения оператора Hs (сравните с
(1.212)):
(А) = <ф8(г)И8|ф8(г)> ^ <1|-н(М| и+ лйг/|фн(*")>• (1.215)
Оператор в представлении Гейзенберга можно определить следующим образом:
Ин (0 = U + (t, f") As U(t, t0). (1.216)
Из этого определения мы видим, что операторы, которые стационарны в
представлении Шредингера, в представлении Гейзенберга оказываются
зависящими от времени. Преобразование (1.216) называется преобразованием
подобия, когда U+ = С/'1. По определению средние значения операторов А в
момент времени t могут быть записаны в виде
(А} = <фн (t0) \Ап (t) |фн (*")>. (1.217)
Закон преобразования операторов (1.216) необходим для того, чтобы среднее
значение оператора А оставалось
96
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
одинаковым в обоих представлениях. В этом случае оба представления
оказываются физически эквивалентными
друг другу.
Уравнение движения для наблюдаемой величины в представлении Гейзенберга
может быть получено из соотношения (1.216). Следует отметить, что
соотношение (1.216) справедливо даже тогда, когда оператор А явно зависит
от времени. Если продифференцировать обе части (1.216) по t
и использовать соотношения (1.202),
(1.206), а также условия унитарности Z7+C7 = UU+ = 1, то получим
г/г = U+ ASHU - U+ HASU + ihU+ U =
= u+ Asuu* ни - u+ huu+ asu + mu+ -¦ и =
= Мн" 7/н] + Ш' (1.218)
где Hн - гамильтониан в представлении Гейзенберга,
7/" (/) = U+ (t, t0) 7/s (/) U (t, t0), (1.219)
= U+{t;t0) (t,t0). (1.220)
Уравнение (1.218) называется уравнением движения Гейзенберга для
наблюдаемой величины. Если
dAa I dt = 0,
то в этом случае величина Ац называется интегралом движения.
В качестве специального примера рассмотрим уравнение (1.218) в случае,
когда = 77s- .Если система консервативна, то dH$ldt = 0 и оператор U (/,
/0) определяется соотношением (1.201). Так как в этом случае [#s, U\ =0,
то в силу определения (1.219) Ян = Hs. В результате из соотношения
(1.218) мы получим уравнение
(Шя
= 0, (1.221)
1.10]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
97
которое показывает, что величина Н в данном случае является интегралом
движения.
Если оператор A s не зависит явно от времени и система консервативна, то
уравнение (1.218) приводится к уравнению вида
Если оператор Ал коммутирует с гамильтонианом, то оператор Ал является
интегралом движения.
В представлении Гейзенберга вектор динамического состояния системы
фиксирован, а базисные векторы движутся и состояние системы
рассматривается с точки зрения движущейся системы координат. В
представлении Шредингера, когда величина A s является наблюдаемой, мы
имеем соотношение
в котором базисные собственные кет-векторы | a')s стационарны.
Однако поскольку собственные значения а' являются физически наблюдаемыми
и измеряемыми величинами, то они не должны зависеть от того, измеряются
ли они в системе координат со стационарными базисными векторами,
соответствующей представлению Шредингера, или в системе координат с
вращающимися базисными векторами, соответствующей представлению
Гейзенберга. Поэтому, так как U+ = С/-1, то
Если мы используем последнее соотношение, то соотношение (1.223)
принимает вид
=а' [U+(t,t0)\a')s]. (1.224)
Так как собственные значения а' должны быть одинаковыми в обоих
представлениях, то собственные кет-векторы в представлении Гейзенберга
изменяются в
(1.222)
Пе | a')s = а' | a')s,
(1.223)
As = UAHU+.
98
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. 1
соответствии со следующим законом:
| а', Он = U+ (t, t0) | a', ?0>s. (1.225)
Идыми словами, базисные векторы изменяются в представлении Гейзенберга и
стационарны в представлении Шредингера. (При этом мы поместили t и t0
внутри кет-векторов, для того чтобы указать их зависимость от t и t0.)
