Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 22

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 122 >> Следующая

когда спектр величины V или т' в некотором интервале дискретный, а в
другом - непрерывный. Для простоты в этом разделе мы будем предполагать,
что величины V и т' пробегают дискретный ряд значений, хотя исследование
вопроса о преобразовании представлений можно проводить аналогичным
образом для любой из указанных выше возможностей. Для наблюдаемых L и М
имеют место соотношения
(Г |Г> = б/-г, (т'\т"У
(1.102)
1.10]
ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
61
и в силу полноты систем собственных векторов имеем
S|r><Z'| = /, S|m')<m'| = /. (1.103)
V m'
Следовательно, можно разложить любой бра-вектор < V \ по системе
собственных бра-векторов {{пг |} и, наоборот, любой бра-вектор <т'\ - по
системе собственных бра-векторов "Г|} и в силу (1.103) получить
(Г \ = ^(Г \т'У (т,'\, (т' | = 2 (т' 11'} (1'\. (1.104)
т' V
Мы можем рассматривать числа
<Z'|m'> = -W (1.Ю5)
как элементы матрицы со строками, обозначенными символом Г, и столбцами,
обозначенными символом т'. Эти числа образуют функцию преобразования, а
соответствующая им матрица S называется матрицей преобразования, ибо
числа Si'm• делают возможным переход от представления, в котором
диагональна матрица оператора, соответствующего величине М, к
представлению, в котором диагональна матрица оператора, соответствующего
величине L. Числа Si'm' играют роль элементов матрицы К в выражении
(1.95). В силу (1.8) и (1.105) получаем, что
Svm' = <V I т'У = <т' | ГУ = S'mr. (1.106)
Если имеется произвольный кет-вектор |ф), то мы можем образовать
скалярное произведение этого вектора па векторы (1.104) и получить
(Г | ф> =3= I ф>, О' I ф> = ^SmT </' I ф>.
771' V
(1.107)
Согласно предыдущему разделу величина <Г | ф) является представителем
кет-вектора | ф) в L-представлении, а величина <иг'|ф> - представителем
|ф) в М-представле-нии. В предыдущем разделе эти величины изображались в
виде матричных столбцов, так что мы видим, что соотношения (1.107)
являются полными аналогами соотношений
62
ДНРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
(1.99) и (1.100). В случае поворота системы координат в обычном векторном
пространстве матрица преобразования удовлетворяет условиям К = К~г и det
К = 1. Теперь покажем, что матрица S преобразования кет-векторов из
одного представления в другое удовлетворяет условиям
S+S = SS+ = I, (1.108)
так что
S-1 = S+. (1.109)
Иными словами, покажем, что преобразование от М-представления к L-
представлению является скорее унитарным преобразованием, чем
преобразованием чистого поворота. Для этого мы напишем (используя
определение матричного элемента произведения двух матриц)
<т" | S+S К> = 2 <т" | Г) (Г | т'у = 8п.т.,
V
(1.110)
(Г I SS+ I Гу - 2 (Г I т'у <т' | Гу = бп".
т'
При этом были использованы соотношения полноты (1.103) и ортонормировки
(1.102). Таким образом, матрица S унитарна. Если матричные элементы
матрицы Sim' были бы вещественными, то 5+ = S, а тогда соотношение
(1.109) означало бы, что преобразование от L-представления к ^/-
представлению является чистым поворотом (сравните с равенством (1.97)).
На самом деле преобразование, определяемое матрицей S в комплексном бра-
(или кет-) пространстве, является лишь аналогом поворота.
В итоге можно сказать, что функция преобразования S = "Г \т'У) необходима
для того, чтобы'определять компоненты произвольного кет-вектора | ф> в (|
Г"-представлении по известным компонентам этого вектора в (| т'"-
представлении и наоборот. Отметим также, что совокупность чисел <Т | ф>
является функцией ф (V) величины Г, т. е. <Е|ф) - ф (Г) (см. определение
скалярного произведения в разделе 1.3), а совокупность чисел <тге' | ф)
является другой функцией ф (т') от величины т', т. е. <т' | ф) = ф (т').
Несколько позднее мы будем рассмат-
1.10]
ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
63
ривать эти функции как волновые функции в двух различных представлениях.
Перейдем теперь к преобразованию операторов при переходе от одного
представления к другому. Рассмотрим для этого матричные элементы,
представляющие оператор А в L-представлении, <{' | А 11") = Aw- Если мы
дважды используем соотношение полноты (1.103) для вектора | т'У, то
получим
<Z'|.1|Z">= 2 <1' \т'У <m' | А |т"> <m'|Z'>. (1.111)
т', т"
Здесь величины Ат'т" = \ш' | А | т"') являются матричными элементами (или
представителями) оператора А в М-представлении. Если мы используем
соотношения (1.105) и (1.106), то выражение (1.111) запишется в виде
Л-1'i" = 2 Sl'm'Am'm-'Sym" (1.112)
т'т"
или в виде матриц
Аь = SAMS+ = SAmS-1. (1.113)
В этом случае, когда операторы преобразуются по формуле (1.113), говорят,
что они подвергаются преобразованию подобия. Если теперь обе части
равенства (1.113) умножить слева на <S-1, а справа на S, то с помощью
выражения (1.108) можно получить
Ам = = S+AlS. (1.114)
Отсюда можно сделать вывод, что когда кет- (или бра-)
векторы подвергаются унитарному преобразованию, операторы в кет- (или
бра-) пространстве претерпевают преобразование подобия.
Мы разработали законченную схему для преобразования векторов и операторов
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed