Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
- СО
в которых мы использовали функцию преобразования (1.148). Мы знаем, что
величины <q | ф> = ф (q) и | ф> = = ф (р') являются функциями
соответственно q и р . Из соотношений (1.157) и (1.158) следует, что
функции ф(д') и Ф (р') связаны преобразованием Фурье. В соответствии с
приведенными ранее основными положениями функции ф (q ) и ф (р')
изображают один и тот же вектор состояния | ф) в двух различных
представлениях. Эти функции называются также шредингеровскими волновыми
функциями.
Соотношения (1.154) и (1.155) можно обобщить следующим образом: умножим
(1.154) справа на <q" |ф> и проинтегрируем по q" от -оо до +оо. Если мы
используем к тому же соотношение полноты, то равенство (1.154) приведется
к виду
<?' IF (Р) I Ф> = F (-7 §7) <?' I Ф> = F щг) Ф (?')"(!-159)
где кет-вектор |ф) является произвольным вектором состояния. Аналогичная
процедура, примененная к соотношению (1.155), показывает, что
W I V (д) |ф> = V ¦(?') <?'|ф> = V (q') ф-(?'). (1-160)
Полученные формулы будут весьма полезными в дальнейшем.
Для рассматриваемой нами системы, состоящей из частицы, движущейся в
одном измерении, существует еще одна важная наблюдаемая величина:
гамильтониан системы, собственные значения которого мы еще не знаем. Эта
наблюдаемая удовлетворяет следующему уравнению для
1.11] КВАНТОВАНИЕ. ПРИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 75
собственных значений:
H№'> = E\E'/ = [?r + V{q)
I Еу.
(1.161)
Очевидно, что до тех пор, пока мы не укажем явный вид функции V (д), мы
не в состоянии решить такую задачу на собственные значения. Заметим, что
собственные векторы и собственные значения наблюдаемых величин р и q не
зависят от вида потенциала V (q). Вторая глава данной книги будет
посвящена как раз исследованию уравнения (1.161) в случае, когда V (q) -
V2 кд2, где к - постоянная. Этот потенциал соответствует гармоническому
осциллятору. Более простым примером является случай свободной частицы,
когда V (д) = 0. В этом случае задача о собственных значениях оператора
II крайне проста, но мы отложим ее решение до раздела 1.19.
Мы можем сформулировать задачу на собственные значения энергии в формуле
(1.161) в координатном представлении. (Собственные кет-векторы |ЕУ задают
энергетическое представление.) Для этого умножим обе части равенства
(1.161) на собственный бра-вектор величины q, т. е. на <д' (. Тогда
"Л|_;
2~ + V{q)
ЕУ = Е (q' ] Еу.
Если теперь воспользоваться соотношениями (1.159) и
(1.160), в которых положить |ф) = |^) (ибо кет-вектор в этих соотношениях
был произволен), то последнее уравнение можно написать в виде
Л2 <Р
2 т
dq''
+ V(q') <?' \Еу = Е (q' \ Еу. (1.162)
Решение этого уравнения определяет функцию преобразования <q' |Еу от
энергетического к координатному представлению. Эта функция является также
собственной функцией энергии II в ('/-представлении или собственной
функцией координаты q в энергетическом представлении. Уравнение (1.162)
называется волновым уравнением Шредингера, пе зависящим от времени.
Функция \Еу является шредингеровской волновой функцией, которая
76
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
записывается в виде
Фк Ю = \q\Ey.
Уравнение (1.162) выведено на основе сформулированных нами постулатов,
без привлечения дополнительных постулатов. Весь проведенный нами анализ
предполагает, что мы рассматриваем систему в некоторый определенный
момент времени. Для того чтобы указать, каким образом система развивается
во времени в отсутствие возмущений, нам потребуется еще один постулат в
теории (см. по этому поводу раздел 1.14).
Поскольку гамильтониан системы также является наблюдаемой величиной, то
мы можем заключить, что собственные кет-векторы |Е} будут образовывать
полную систему и будут удовлетворять условиям ортонормировки. До того,
как мы определим явный вид потециала V (q), мы не можем сказать, будут ли
собственные значения гамильтониана дискретными, непрерывными или теми и
другими в различных областях спектра и будет ли иметь место какое-либо
вырождение системы. Прежде чем переходить к решению уравнения (1.162) для
какого-либо конкретного потенциала V (q'), мы перейдем к физической
интерпретации тех состояний системы, которые не являются собственными
состояниями наблюдаемой величины. Рассмотрение таких состояний потребует
включения в теорию вероятностной интерпретации, о которой уже упоминалось
во введении.
1.12. Измерение наблюдаемых величин.
Вероятностная интерпретация
В предыдущих разделах была дана физическая интерпретация собственных
состояний наблюдаемых величин. Предполагалось, что если система находится
в собственном состоянии |Z> наблюдаемой величины L, то при измерении
величины L с определенностью будет получаться значение I. Предполагалось
также, что если над системой, находящейся в произвольном состоянии |ф>,
производится однократное измерение величины L, то в результате получится
одно из собственных значений этой величины. При этом вызываемое
измерением возмущение будет заставлять систему "перескакивать"
