Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
над ней производится однократное измерение величины р, то в результате мы
получаем одно из собственных значений р', и в этом случае система
переходит в состояние | р'}. Это дает нам способ создания систем в
состоянии | р'у. Если система находится в состоянии | ф), то вероятность
получить значение р' при измерении величины р равна \ (р' | ф> |2 dp'. В
общем случае система не будет находиться ни в собственном состоянии
оператора р, ни в собственном состоянии оператора q, и поэтому величины
Ар ж Aq будут конечными и отличными от нуля. Однако интересно выяснить, в
каком состоянии системы произведение неопределенностей (Ар Aq)
минимально. Это состояние системы соответствует минимальной степени
локализации частицы в импульсном пространстве, когда ее координата
находится в интервале
86
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Дq координатного пространства. Для того чтобы найти это состояние, мы
должны решить уравнения (1.187).
Если подставить уравнение (1.187а) и ему комплексно сопряженное в
уравнение (1.187Ь), то получим
(с + с*) <1)з | р2 | ф> = 0.
Так как при этом <р2> = <(Др)2} =f= 0 (вектор | ф> не является
собственным кет-вектором оператора р), то для того, чтобы выполнялось
последнее равенство, необходимо, чтобы постоянная с была чисто мнимой. Мы
запишем ее в виде с - - г?, где | - вещественная величина.
Для а - q - <g> и р=р - </>> уравнение (1.187а) принимает вид
(Я -<Я" I Ф> = - il (Р - <Р" I Ф>-
Если умножить обе части этого уравнения скалярно па собственный бра-
вектор <д'| и воспользоваться соотношениями (1.159) и (1.160), то получим
- <я"^>(я') = (4- -щг - </>>)ф (?')*
где ф (q) = <g' | ф>.
Это простое дифференциальное уравнение первого порядка относительно
волновой функции ф (q') имеет рс-шепие вида
Ф (я') - с2 ехР -\-<рУя' - щ-(я' - <?"21. (1.191)
где с2 - постоянная интегрирования.
Две неизвестные постоянные ? и с2 определяем, во-первых, из условия
нормировки
+ 00 t 4. со
<ф|ф>= ^ <ф|?')йд'<д' 1Ф> = 4 Ф (я') I2 Ля' = 1 (1.192)
- ое -со
(здесь использована полнота системы) и, во-вторых, из требования, чтобы
среднеквадратичная флуктуация величины q была
+ 00
<(Д<?)2> = <(g - <g"2> = J | Ф (?') I2 (я' - <<?"2dq\ (1.193)
1.13] ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
87
Если мы используем известные выражения для интегралов
то, подставив в (1.192) и (1.193) выражение (1.191) для функции ф (д'),
получим
Отсюда нетрудно показать, что Щ = 2 ((Aq)2} и | с2 |2 = = [2л <(Ag)2>]
7'. Если выбрать фазу величины с2 так, чтобы она оказалась вещественной,
то выражение для ф (qr) примет окончательный вид:
Это так называемая волновая функция с минимальной неопределенностью в
координатном представлении. Повторные измерения величины q для системы в
таком состоянии дают нам средние значения (q} со среднеквадратичным
отклонением ((Aq)2}, а повторные измерения величины р дают среднее
значение <р>. Среднеквадратичная флуктуация величины р определяется через
заданную среднеквадратичную флуктуацию ((Aq)2} величины q и равна ((Ар)2}
- Й2/4 ((Aq)2}. Заметим, что так как величины <Р>j (ЧУ и ((Aq)2}
произвольны, то существует тройная бесконечность состояний с минимальной
неопределенностью. Эти состояния будут играть существенную роль в
дальнейших обсуждениях вопроса об измерении электромагнитного поля.
Согласно вероятностной интерпретации квантовой теории вероятность того,
что частица локализована между q' и q' + dq', равна
- ОО
I с212 YЯЩ = 1, I са I2 У я (Щ)3/2 = 2 <(Д<7)2>.
Ф(?') = W 1ф> =
1
i <Р> я' h
(я' - <9))3
4<(Дд)2> ]'
(1.195)
----------------тт. ехР
[2я <(Д?)2>]1/4
Это известная гауссова функция распределения вероятности с центром в
точке q' = (q) со среднеквадратичным (или нормальным) отклонением
Y((Aq)2}.
88
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Уравнение (1.195) описывает в координатном пространстве состояние частицы
с минимальной неопределенностью. Для того чтобы описать это состояние в
импульсном пространстве, воспользуемся соотношениями (1.158) и (1.195). В
результате получим
Ф (Р') = <Р' |ф> =
1
ехр
[2я <(Ад)Ъ]1/4
(1.197)
Это выражение является импульсным представлением того же самого состояния
с минимальной неопределенностью. Величина |ф(р')12 снова является
гауссовой функцией в импульсном пространстве с центром в точке р' =(р} и
с нормальным отклонением Y<(Ар)*У=Ш2 У {(Ад)*). Функция ф (q')
определяется однозначным образом через ф (р') с помощью (1.68а).
С помощью выражения (1.157) мы можем ясно представить себе функцию ф (q')
в виде суперпозиции плоских волн ехр (ip'q'lh) с длиной волны
^=i|L = .A. (1.198)
Это и есть как раз длина волны де Бройля, которая связана с данной
частицей. С помощью волн де Бройля объясняется волновая природа частиц в
дифракционных опытах.
В формуле (1.157) функция ф (р') давала амплитуду каждой из
интерферирующих плоских волн. В случае состояния с минимальной
неопределенностью эти волны усиливаются при интерференции в области
порядка Ар в импульсном пространстве так, чтобы для величины IФ (оО I2
