Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
собственные кет-векторы { | I)} и { | q'}} образуют полную систему
собственных кет-векто-ров. Следовательно, эти собственные кет-векторы
должны удовлетворять условиям ортонормировки (1.35) и (1.63):
<У I П = бгг, W I д"> = б (q' - Я"), (1.78)
а в силу соотношений (1.49) и (1.67) они также удовлетворяют и
соотношениям полноты
2Ю<П = Л j !?'><*?'<?'!=*• (1-79)
г
В силу (1.79) произвольный кет-вектор | о|з) может быть записан в виде
1^) = jVx<mw. (i.80)
V
Аналогично, в обычном векторном пространстве, если векторы i, j, к
являются тремя единичными ортогональными векторами, то произвольный
вектор А может быть записан в форме
А = Axi Avj -f- Azк. (1.81)
Это разложение аналогично разложению (1.80). Аналогом же соотношений
ортонормировки (1.78) являются соотношения
(ij) = (jk)== ...=0, (ii) = (jj) = (kk) = l.
МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
55
Система векторов 0, j,k} является полной системой, так как любой вектор А
может быть разложен по этим векторам, как это, например, сделано в
(1.81). В этом случае говорят, что вектор А раскладывается в
представлении
i, j, k-
Последние векторы могут рассматриваться как базисные векторы в этом
пространстве.
Точно так же система векторов { | I}} (или {| <?')}) может
рассматриваться как заданная система ортогональных единичных базисных
векторов в смысле (1.78), а тогда можно сказать, что соотношения (1.80)
как раз и дают ' азложение кет-вектора | ф> в L- (или q-) представлении.
Числа <Г | о))) (или (д' | г|?>) являются проекциями, или, как их назвал
Дирак, представителями вектора | ф> в L- (или д-) представлении.
При представлении кет-вектора | а))) мы можем в качестве базисных
векторов выбрать другие собственные кет-векторы, отличные от собственных
векторов для наблюдаемых величин L (или q). Это можно проделать точно так
же, как вектор А можно разложить по другой системе базисных векторов,
отличной от системы i, j, к. Этот вопрос мы обсудим в следующем разделе.
Из первоначального определения скалярного произведения (см. раздел 1.3)
мы знаем, что величины <Т | г|?) (и {q' |ф" могут рассматриваться как
функции V (или д'). Эти функции можно записать соответственно в виде ф;-
(илиф (q')), ибо каждому значению V (или q') соответствует числофн (илиф
(q')). Эта совокупность чисел однозначно определяет вектор | ф) (если
точно указаны соответствующие собственные векторы) точно так же, как
числа А х, А у и А г однозначно определяют вектор А (если выбраны
базисные векторы i, j, k).
Вектор А можно записать в виде некоторого матричного столбца:
А = Ау = Axi Ауj ф- Агк, Аг.
(1.82)
где строки обозначены индексами х, у и z. Аналогичным образом, кет-вектор
| ф) в соотношении (1.80) можно записать в виде матрицы с одним столбцом,
в которой
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
(ГЛ I
строки обозначаются символами V (или д'):
1Ф> = 2<Пч>> Ю, 1Ч>> = §dq'(!-83)
V
Существует, таким образом, способ представления произвольного кет-вектора
в виде векторного столбца*). Число строк этого вектора определяется
числом собственных значений, которые принимают V (или qr). Как правило,
представители <Г | тр> (или (q' | ф" являются комплексными функциями.
Соотношения (1.83) можно пояснить с помощью простого примера,
приведенного нами в разделе 1.6. В силу соотношений (1.41) и (1.42) мы
имеем следующее представление произвольного кет-вектора в кет-
пространстве:
Р> =
¦ <1|Р> Сх ' 1 "0
<- 1! ,р>_ - С 2 = <я 0 + с2 1
(1.84)
Из этих выражений видно, что сами базисные векторы могут быть
представлены в виде некоторых матричных столбцов:
| + 1>
1>
¦<+1 + 1)" '1 '
.<-1 + 1) 0
~<+1 -1>- "0 "
.<-1 1
(1.85)
Еще раньше, во введении, мы уже указывали, что выражения <q' | ф> =ф (q')
являются шредингеровскими волновыми функциями в координатном
представлении, если q есть наблюдаемая величина, связанная с координатой
частицы, движущейся в одном измерении. Все эти вопросы мы будем
рассматривать более полно несколько позднее.
По аналогии с приведенными выше рассуждениями мы можем произвольный бра-
вектор <ф | представить в виде матрицы с одной строчкой и со столбцами,
обозначенными
*) Вообще говоря, ггредставленпе чисел (д' | ф> в случае непрерывной
переменной д' с помощью некоторого векторного столбца не вполне логично и
обосновано. В данном случае мы это делаем но аналогии со случаем
дискретного набора чисел </' | ф>.
MATPXtHHOE ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
символом Г (или q') :
<ф|==2<ФЮ<Г|, <У\ = j W I- (1-86)
V
Согласно общему свойству (1.8) мы имеем
<ч>ю =<*'и>>* (1-87)
<ф | д'У = <д' | ф>* == о)5* (д').
Поэтому вектор, эрмитовски сопряженный матричному столбцу, является
строчным вектором, в котором соответствующие элементы комплексно
сопряжены элементам векторного столбца.
Далее мы рассмотрим вопрос о записи любого линейного оператора 4 в виде
матрицы в L- (или д-) представлении. Для этого, применив дважды
соотношения полноты (1.79), запишем оператор А в виде
4=2 ю<г|4|п<п
V, V
или
A = jj dq'dg" | д'У <g' | 4 | g"> <g" |. (1.88)
