Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
степенной ряд, то, применяя несколько раз уравнение для собственных
значений
L\l}=l\l}, (1.70)
получим
/ (L) I г> = / (I) \1у. (1.71а)
Например [1], если / (L) = L2, то L2 \ 1} = I2 | I>. Однако мы
постулируем, что соотношение (1.71а) справедливо даже тогда, когда
функция / (L) не может быть разложена в степенной ряд. Например, если мы
рассмотрим функцию / (L) = L"1, то тогда
l-1 | о = г-1 | г>
при условии, что ни одно из собственных значений не обращается в нуль. А
это и есть как раз условие существования оператора L. Другим простым
примером может служить функция / (L) = L'1'. В этом случае
j г> = + 11>
и появляется неопределенность в выборе знака перед
1'1г | I). Оператор Ь'/г существует, и его собственные
значения вещественны, когда положительны собственные значения оператора
L. Неопределенность же в знаке в приведенном выше равенстве может быть
устранена выбором определенного знака для каждого собственного значения.
Обычно выбирают положительное значение корня.
Наконец, выражение, эрмитовски сопряженное выражению (1.71а), должно
иметь вид
(l\r(L)=f*(l)(l\ (1.71b)
или для функции G (L)
<Z I G (L) = G (I) <1 |. (1.71с)
52
ДИРАКОВСКАЯ формулировка
[ГЛ . I
1.8. Матрицы
В разделе 1.9 будут даны матричные представления кет-и бра-векторов и
линейных операторов в кет- и бра-пространствах. Мы предполагаем, что
читателю уже известны некоторые общие свойства конечных матриц, и поэтому
в этом разделе мы приведем лишь несколько менее известных свойств таких
матриц, а также попытаемся обобщить основные свойства конечных матриц на
бесконечные матрицы.
След (или шпур) конечной квадратной матрицы определяется как сумма ее
диагональных элементов. Таким образом, если А - конечная квадратная
матрица, то
Sp^s^u, (1-72)
г
где Sp - сокращенное от "Spur" - "след" и Ац - диагональный элемент
матрицы. Нетрудно доказать, что след произведения конечных квадратных
матриц инвариантен относительно циклической перестановки перемножаемых
матриц:
Sp (ABC) = Sp (ВСА) = Sp (CAB). (1.73)
Матрица А+, эрмитовски сопряженная матрице А, получается из матрицы А
путем замены строк столбцами (и наоборот) и комплексным сопряжением
каждого элемента. Если
А =А+, (1.74)
то говорят, что матрица А эрмитова, т. е.
(A+)i} = А$ = Аи.
Матрица А называется унитарной, если
АА+ = А+А = I, т. е. А+ = А~\ (1.75)
где матрица А-1 является матрицей, обратной матрице А. Обратная матрица
существует только в том случае, если определить прямой матрицы А отличен
от нуля.
Эти и некоторые другие известные свойства конечных матриц могут быть
использованы и для матриц с бесконечным числом строк и столбцов. Строки и
столбцы могут
1.9] МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
53
быть обозначены или дискретными индексами, или набором непрерывных
индексов, лежащих в некотором интервале, или совокупностью тех и других.
Например, если величины q и q могут принимать любые значения от -оо до
+оо, то матричный элемент матрицы А можно записать в виде Aq;q' или в
эквивалентной форме А (q; q'). По аналогии с правилами умножения конечных
матриц, если мы умножаем матрицу Л с элементами Aq-q> на другую матрицу В
с элементами Bq- q> (или В (q; с/')), то можем написать
+°°
Cq.*= j A{q\<f)B(frq')dif. (1.76)
-ОО
Если последний интеграл сходится, то все хорошо. Аналогичным образом,
след матрицы А равен
Sp (А) = j A{q';q')dq'.
При этом также предполагается, что этот интеграл существует. Диагональная
бесконечная матрица А записывается в виде
A (q'; q") = A (q'; q') б (q' - q").
Таким образом, приведенные выше соотношения обобщены на бесконечные
матрицы.
1.9. Матричное представление кет- и бра-векторов и операторов
Ранее уже отмечалось, что различные представления соответствуют различным
системам координат в обычном векторном анализе. В этом разделе мы
определим более точный смысл этих интуитивных концепций. Мы покажем,
каким образом определяется представление и как определяются операторы и
собственные векторы в выбранном представлении. В частности, мы покажем,
что произвольные кет- и бра-векторы в векторном пространстве могут быть
представлены в виде матричных столбцов и строк, а сами операторы могут
быть представлены в виде обычных квадратных матриц. Формула (1.37)
является простым примером такого представления. Преимущество
использования определенного представления при решении конкретных
54
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
вадач квантовой механики аналогично преимуществу использования
определенной системы координат в обычной геометрии.
Мы будем развивать теорию представлений одновременно на примере
наблюдаемой величины L, имеющей дискретный спектр собственных значений, и
наблюдаемой величины q, имеющей непрерывный спектр собственных значений.
Начнем это рассмотрение с анализа уравнений для собственных значений
наблюдаемых величин L и q:
L |Z> =1 | I), q \q') =q' \ q'У, (1.77)
где собственные значения I дискретны, а собственные значения q'
непрерывны. В силу того, что величины L и q являются наблюдаемыми,
