Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
86
Лекция пятая
определенный период колебаний. Пусть теперь в оболочке С проделано небольшое отверстие. Тотчас же начинается погашение собственных колебаний благодаря выходу излучения наружу; если отверстие достаточно мало, погашение будет почти совершенно незаметным. С другой стороны, одновременно с испусканием света наружу внешнее излучение начнет проникать в тело M и возбуждать колебания, так что состояние, там устанавливающееся, есть состояние вынужденных колебаний, как и в случае линейного вибратора; можно показать, что энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, имеет то же значение (41), которое мы для него нашли1.
Мы видим, что наша теорема обладает большой общностью. Одним из наиболее простых частных случаев, доступных рассмотрению, является тот, когда мы за тело M принимаем один вибратор, колеблющийся с той же частотой v по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Для его энергии получим утроенное значение (41), так как одна и та же энергия приходится на каждую из трех степеней свободы.
Можно также рассмотреть случай, когда полость С вовсе не содержит весомой материи; «тело» M сводится к объему V эфира, заключенному в этой оболочке. Если мы найдем все собственные колебания этого объема, ограничиваясь, однако, длинами волн, короткими по отношению к его размерам, то можно показать, что число возможных колебаний пропорционально У и не зависит от формы рассматриваемого «эфирного тела». Оно равно для промежутка частот dv:
Vdv. (43)
С
Таково, следовательно, число степеней свободы, существующих в объеме V. Давая каждой из них энергию
Hv
hv ^
kT л Є — 1
снова находим для энергии, заключающейся в единице объема эфира, значение, даваемое формулой Планка.
Подобный же метод рассмотрения применим к случаю, когда оболочка С содержит какую-либо прозрачную материю. Действительно,
1Cm. примечание VII в конце книги.
Замечания о теории теплоемкостей
87
выражение (42) можно заменить таким:
87Г
A4
V dA, (44)
где А — длина волны; в этом виде оно дает нам число собственных колебаний объема, длина волны которых заключается между А и А + d\. Ho для тела с показателем преломления /х (мы считаем здесь /х независимым от А) имеем:
\ _
fiv
и выражение (43) может быть переписано так:
87Г IjL3V2
C3
Vdv.
Для каждого промежутка частот энергия, содержащаяся в среде с показателем преломления /і, в /і3 раз больше, чем в эфире, который заполнял бы тот же объем. Результат этот, здесь нами найденный, давно и хорошо известен.
41. Замечания о теории теплоемкостей. Энергия вибратора, обладающего тремя степенями свободы, как мы видели, равна
д _ Shv
Hv
кТ Л Є — 1
Формула эта — основа теории теплоемкостей, принадлежащей Эйнштейну1, которая покоится на следующих представлениях. В твердом теле каждый атом может колебаться вокруг своего положения равновесия по всем возможным направлениям. Каждый атом обладает определенным собственным периодом колебания; при данной температуре T он обладает энергией, выражаемой предыдущей формулой, если предположить, например, что тело заключено в оболочку, температура которой равна T ив которой существует, следовательно, черное излучение, соответствующее этой температуре. Если взять производную этого выражения для энергии атома по температуре, то получится то, что может быть названо теплоемкостью атома, т. е. количество энергии,
1 A. Einstein, Ann. d. Physik 22, 1907, 180.
88
Лекция пятая
которое нужно ему сообщить, чтобы он был в равновесии (относительно обмена энергиями) с черным излучением, соответствующим более высокой температуре, причем возрастание энергии отнесено к единице повышения температуры. Эта теплоемкость равна
Hv
= (45) dr kT2 , Ля
(«"-О
Мы видим согласно этой формуле, что теплоемкость стремится к нулю, когда мы приближаемся к абсолютному нулю. Она даже становится
исчезающе малой, как только T становится малым по сравнению с
к
И действительно, опыт показал, что теплоемкость практически равна нулю задолго до абсолютного нуля.
Эта формула Эйнштейна удовлетворяет опыту только грубо. Она была изменена Нернстом и Линдеманном1, ив более новых работах Борн и Карман2 и Дебай3 снова занялись этим вопросом для случая кристалла, применяя теорию упругости. Согласно общей теории, изложенной в предыдущем параграфе, каждой степени свободы приписывается энергия, даваемая выражением (41), и получается формула, изображающая теплоемкости весьма удовлетворительным образом.
Вернемся к основной точке зрения Эйнштейна и заметим сперва, что способ, которым тело нагревается от температуры T до температуры Tf для получения его теплоемкости, не непременно — нагревание излучением. Каков бы ни был способ притока тепла, изменение энергии для перехода от T к Tf будет то же. Заметим далее, что нет необходимости для применения формулы рассматривать v как эмпирическую постоянную, которую следует определить так, чтобы совпадение между опытом и теорией было наилучшим: можно наперед указать, какие значения для v нужно брать. И одним из прекрасных результатов теории является то, что, определив наперед значение v посредством соображений, в которые теплоемкость вовсе не входит, мы для последней
