Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Fx =р cos nt, Fy = O, F2=O
и действующей только в одном элементе объема dv, расположенном в начале координат. Для этого случая имеем:
Ax = —г— • - cosn(t — —), Ay = 0, Az = О,
д2Ах _ д2 Ax v дх2 U2Ot2^x' дхду z dxdz
и _n it _ с д2Ax ______с д2Ax
х ~ ’ У~ U2 dt dz ’ 2 ” U2 dtdy
Если расстояние г велико по сравнению с длиной волны, то можно пре-
1 і
небречь членами порядка величин — или —. Тогда находим
г^* fJf*
E*=(--4)w> Еу = ~Чш’ Ez = -^fa;,
У /У» ПҐЬ& J ПҐЬ& Пґ*
fjp fjp4-* J fjp4-
Hx = O, Uy = AW} H , = O-u,
U r U r
где мы для сокращения положили
п2р dv , г ч ———cosnit - =UJ.
4:TTU
3. Мы интересуемся излучением, для которого источником является элемент dv. Оно дается теоремой Пойнтинга, согласно которой мы имеем для составляющих потока энергии S:
Sic — c(FjyFlz FzFly) и т. д.
или
с _ C2 x(y2+Z2) 2 0 _ C2 y(y2+Z2) 2 с _ C2 z(2/2 + ^2) 2
— * CJ , , S2 — * CJ .
иг иг иг
Примечание IV 107
Мы видим, что поток энергии направлен по прямым, исходящим из элемента dv, и что его интенсивность равна
C2 у2 + Z2 2
— •-------UJ .
4
и Г
Чтобы получить средний поток за единицу времени, нужно здесь
-|
заменить Cos2 n(t — ?) на -. Затем, чтобы получить полное излучение, нужно вычислить интеграл от предыдущего выражения, распространенный на поверхность шара, описанного вокруг dv с радиусом г. Окончательно для энергии, испускаемой элементом dv в единицу времени, получаем
C2U4 р2 (dv)2 127Г и5
Результат этот содержит амплитуду р электродвижущей силы F, но ясно, что он не зависит ни от направления, ни от фазы этой силы.
4. Рассмотрим теперь пучок света, распространяющийся в направлении оси х. Мы можем представить его так:
E27 = a cosn(t — ^), Hz = cosn(f — ^).
Интенсивность J, которую мы измеряем средним потоком энергии в направлении ОХ, отнесенным к единице времени и единице поверхности, дана выражением
j _ а2 с2
2 и '
Рассеяние света производит уменьшение интенсивности по мере распространения пучка. Это ослабление нам нужно вычислить.
Пусть Cl и Ctf — два сечения пучка, отстоящие друг от друга на расстоянии dx; разделим на элементы dv слой Cl dx, заключенный между этими сечениями. Согласно тому, что было сказано в тексте, нам нужно представить себе в каждом из этих элементов электродвижущую силу, амплитуда которой равна1
Ає аа An
а— = — •
є є dv
1 Число молекул в элементе dv я обозначаю через п прямое, так как п курсивное обозначает у нас частоту колебаний.
108 Примечания автора
Это выражение нужно подставить на место р в выражении (10). Заменяя, кроме того, а2 на Щ-J согласно уравнению (11), а на 6 ^, (An)2
С
на N dv (см. текст) и п на где Л — длина волны в пустоте, полу-
чаем:
87Г3С4(є — I)2 87Г3(є — I)2
------ —т—т—J dv =---------- J dv.
3 NX4U4S2 SNX4
Это — количество энергии, рассеиваемой элементом объема dv.
5. Вводя вместо dv величину Cl dx, получаем рассеяние, происходящее в слое Cl dx. С другой стороны, это рассеяние должно равняться разности энергий, проносимых пучком через сечения Cl и Cl'. Итак, получаем дифференциальное уравнение:
dJ Stt8(E-I)2
dx 37V A4
Его интеграл есть
J = Joe-**,
где
, 8тг3(е-1)2
h = -
SN X4
Заметим, наконец, что диэлектрическая постоянная є равна квадрату показателя преломления /х, и что в случае, когда /х мало отличается от единицы, можно /х2 — 1 заменить на 2(/х — 1). Тогда получаем:
327г3(/і —I)2
h —------- ' , (12)
SNX4
а это — формула Релея.
V. (Стр. 65)
1. Быть может, не лишено интереса изложение способа, посредством которого можно вычислить для газа или жидкости флуктуации плотности и температуры и изменения произвольного свойства, отсюда происходящие.
Примечание V
109
Предположим, что система занимает постоянный объем и обладает неизменным количеством энергии. Разделим объем на п равных элементов dv і, ... , dvn; значки 1, ... , п будут служить нам, если нужно, для того, чтобы отличать величины, относящиеся к нашим элементам.
Состояние материи, находящейся в произвольном элементе dv, может быть дано заданием плотности D и количества энергии Е, отнесенного к единице объема. Энтропия S, которую также отнесем к единице объема, есть некоторая функция от этих двух переменных.
Равновесие будет тогда, когда система станет совершенно однородной: DnE имеют те же значения Dq и Eo во всей системе; если это равновесие устойчивое, а это мы предполагаем, то значение Sq полной энтропии
ему соответствующее, будет максимумом.
2. Если система находится в состоянии, заданном так:
Di = Dq + Si, Ei = Eq + Єї,
D2 = Dq + S2, E2 = Eq + E2,
с весьма малыми значениями отклонений Si, , еп, то для энтропии получим
S = S0-F,
где F — однородная функция второй степени от 2п переменных Si, • • • ? єп- Функция эта по существу положительная.
Если рассматривать ^i, ... , еп как координаты в пространстве Cl 2п измерений, то всякому состоянию системы будет соответствовать определенная точка. Ho не нужно терять из виду, что эта изображающая точка не может занимать произвольное положение. Действительно, она должна удовлетворять условиям