Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
J2 и E2 равны таковому для E2,
произвольно, то средние значения E2 и E2 равны таковому для E2
Таким образом, имеем:
E2 = I а2.
-J
А известно, что электрическая энергия в единице объема равна1 ^E2.
о "
Она, таким образом, равна ^a2, а полная энергия в единице объема
равна I а2, так как магнитная энергия электромагнитного излучения
равна электрической энергии. С другой стороны, можно представить энергию, заключенную в единице объема, в виде
F(и) dv
или в виде
^F(v) dn,
где F(v) — функция, стоящая в правой части формулы (36).
Итак, в выражении, полученном для энергии резонатора, можно
1 1
заменить -а2 на —F(v) dn. а это дает нам для энергии
2 07Г
тщє
2^2
F(v) dn. (40)
67г ш2(пр — п2)2 + U2W2
Это энергия, относящаяся к промежутку излучения от V до V + dv. Чтобы получить полную энергию резонатора, нужно интегрировать это выражение по всем значениям п.
Выкладка очень упрощается, если заметить, что имеют значение для результата только значения F(v) в непосредственном соседстве щ. Чтобы убедиться в этом, нужно обратить внимание на значение коэффициента сопротивления UJ.
1Mbi пользуемся здесь «рациональными» единицами Хевисайда; электростатическая единица количества электричества здесь в \/47г раз меньше, чем обычно принятая единица.
Энергия вибратора в поле черного излучения
83
d?
Какова природа силы ~w-^. действующей на электрон? Это сила,
чЛ1/
ведущая к затуханию колебаний; единственная же сила такого рода, предсказываемая электродинамикой, происходит от испускания электроном излучения. Доказывается, что эта сила равна1
є2
67гс3 dt3 ’
где с обозначает скорость света, или для случая простых колебаний
п2є2 67гс3 dt
Если для сокращения письма введем обозначение:
w
UJ = ----,
ran’
то выражение (39) можно переписать так:
щє
2 _2
бтгт (n2-n2)2 + n4w2jF(l/) dn' (41)
Здесь uj — число, значение которого весьма мало по сравнению с единицей, например, порядка IO-7.2 Можно, таким образом, выбрать число s такое, что оно велико по сравнению с единицей, а произведение suj весьма мало (например, s = IO4).
1Cm. например, Г. А. Лоренц, «Теория электронов», стр. 75, ГТТИ, 1934.
2Имеем
_ —ПЄ_ _ Є--
бтг тс3 3 Xmc2 ’
в эти формулы можно подставить значения заряда є, массы т и длины волны Л. Легче убедиться в малости значения и, если воспользоваться формулой для электромагнитной массы шарового электрона радиуса R. Если принять, что заряд равномерно распределен по поверхности электрона, то
Є2
т =
б7гЯс2 ’ а отсюда
Л ’
но R — порядка IO-13 см и Л даже крайнего фиолетового превосходит IO-5 см. Таким образом, и по порядку не выше, чем IO-7.
84
Лекция пятая
Ho выражение
/ 2 2\2 , 4 2
(п — П0) + Tl UJ ,
как функция переменной п, равное и;2Пр для п = по, имеет минимум, мало отличный от этого значения для
п0
Tl = —
(uj пропорционально п); для
п = (I + su;)no
оно приближенно равно
As2UJ2Uq,
т. е. значительно больше, чем для минимума и чем при п = щ.
Таким образом, видим, что множитель при F(v)dn в выражении (40) имеет весьма острый максимум в соседстве с п = по; на весьма малом расстоянии от этого значения он практически равен нулю. Так как F(v) изменяется с п значительно медленнее, то можно заменить F(v) постоянным значением, соответствующим п = по, и распространить затем интегрирование от п = —оо до п = +оо. Затем можно заменить U4UJ2 на UqUJq, причем ujq соответствует по, и п2 — Пр на 2поп', если обозначить через п' новую переменную п —по- Окончательно имеем для энергии резонатора:
є
+оо
2
6TrmF(l/) / 4n'2 + ngwg 12Jn0W0 F(l/)
-OO
или, принимая во внимание значение ujq:
_ П0є2 UJq —
67Г гас3
и заменяя по на 27г^:
с3 .F(V) = hv
87г у Ък.
kT л Є — 1
Обобщение предыдущего результата
85
40. Обобщение предыдущего результата. Предыдущие рассуждения приводят нас к ряду замечаний. Во-первых, если резонатор забирает от излучения, его окружающего, энергию
(42)
hv
кТ Л Є — 1
то это потому, что в уравнении движения мы допустили, что затухание исключительно происходит от излучения, источником которого является электрон. Явление это не что иное, как диффузия или рассеяние света, о котором мы уже говорили.
Если допустить, что кроме этой неизбежной причины для затухания существует еще другая причина, вызывающая сопротивление движения электрона, то значение величины w станет больше и энергия, которую резонатор берет от излучения, станет меньше.
Во-вторых, весьма важно, что полученный результат может быть сильно обобщен. Действительно, теория может быть распространена на резонатор с произвольным числом степеней свободы и строением, совершенно отличным от строения нашего «линейного» вибратора, и даже на материальную систему, имеющую конечный объем и способную к большому числу главных колебаний.
Пусть M — тело, помещенное в пространство, заполненное черным излучением, которое пронизывает тело, как вполне прозрачное. Все его частицы приходят в колебания и в свою очередь испускают излучение, приводящие к затуханию колебаний системы. Таким образом, можно поставить тот же вопрос, что и для резонатора: какова связь между энергией колебаний, возбужденных в теле, и энергией окружающего его черного излучения? Чтобы предыдущую теорию можно было перенести на этот случай, следует выбрать такие обстоятельства, чтобы погашение собственных колебаний было слабым. С этой целью можно поступить следующим образом. Окружим тело полостью С, подогнанной к нему и абсолютно отражающей как с внутренней, так и с внешней стороны. Положим сперва, что эта полость совершенно замкнута, так что нет никакого сообщения между телом и внешним черным излучением. При таких условиях каждая из колеблющихся частиц не испытывает при своем движении никакого сопротивления. В системе происходят свободные колебания — незатухающие — соответствующие его различным степеням свободы, причем для каждого из них существует вполне
