Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
(п — 1)(п — 3)... 2 п(п — 2)... 3
для п нечетного. Отсюда получаем, комбинируя уравнение (1) < гичной формулой
7Г
Cn-1 = С„_2 I sin”-1 (р dip,
О
как для п четного, так и для п нечетного:
/і ___ 27Г /і
п — 77/ п~ 2*
Ho мы имеем:
4
3
C2 = 7Г, C3 = |тг,
откуда, следовательно, для п четного
п
(2тг)2 ” п(п — 2)... 2
(-0
анало-
и для п нечетного
п+1 п—1
102
Примечания автора
II. (Стр. 40)
Вот несколько более подробное изложение рассуждения, данного в тексте в главных своих чертах.
Вместо Sn координат ріж, ... ,pnz можно ввести другие р\, ... ,Рзп, которые выбираем прямоугольными, так, чтобы квадрат расстояния точки от начала координат равнялся р[2 +... +Рз2 . Можно три из этих новых координат р\, р^+і, Р2П+1 выбрать так, что они перпендикулярны к плоскостям
Plx H- • • • H- Pnx — O', (?)
Ply + . . . + Pny — {3)
Piz + ...+Pnz = с; (4)
и далее, что р'2, ... , р'п параллельны первой плоскости, р^+2? • • • ? Р2п — второй и Р2п+2? • • • ? Рзп — третьей, причем координаты каждой группы, кроме того, взаимно перпендикулярны. Легко видеть, что координаты р'п, р'п_|_i, Р2П+1 даются выражениями:
Plx + ¦ ¦ ¦ + Pnx Ply + • • • + Pny Plz + • • • + Pnz у/п ’ у/п ’ у/п
и что, следовательно, условия (2), (3), (4) дают им значения
а Ь с
у/п у/п у/п
Так как сумма квадратов р[, ... , р'3п должна равняться (для значения
энергии равного Е) 2тЕ, то сумма квадратов р'2, ... ,р'п, р’п+2, • • • ?Р2п?
Р2П+25 • • • 5 Рзт имеет значение
2 тЕ - Q2 + ^2+ с2 = 2 тЕ'.
/ V
Чтобы получить значение энтропии для приведенной протяженное-ти (р'2, ... , р'п, р'п+2, ... , Pt2n, р'2п+2, ... , p'Zn) нужно в формуле (3) пер-вой лекции заменить E на Ef и п на п—1. Последнее изменение не имеет для выражения энтропии никакого значения.
Примечание III
103
III. (Стр. 57)
Следующее рассуждение приводит к формуле:
-о U1Ti2
V* = -------------
Tl
без допущения, что п велико.
Для краткости введем обозначения:
V v
и
( I л\
= р, -W = ъ (р + я = 1)
п\ Tl
тії • п2! \п і
Вероятность, ЧТО Пі молекул находятся В объеме Vi и п2 в объеме V2. напишется теперь так:
п= {^)РП19П~П1',
ЭТО выражение ГОДИТСЯ и ДЛЯ Пі = 0 и ДЛЯ Пі = п, если только положить (”) =1, (”) =1. Отсюда получаем
п
Ёя = 1>
п 1=0
так как согласно биномиальной формуле
E (п) Pni ^ni =(Р+ «)" = !.
m=o '
Среднее значение величины а, зависящей от числа пі, равно
п
а = Па.
п\ —0
104 Примечания автора
Например, имеем
рП 1 дП — П1
Il Il Il / \
Щ = ^ Ящ = ^ Ящ = n ^ ( ^ _ Л
пі =O пі =1 п і = I
n n
Яі(пі - I) = Япі(пі - I) = E Ппі(пі - 1) =
пі =0 пі =2
= n(n - 1) • E _2Л pniqn~ni.
Ti1= 2 '
Положим В первом уравнении n — I = п', Пі — I = п^, и во втором n — 2 = п', пі — 2 = Tif1; тогда найдем
п , ,
Ef n I n' n' — n'
In/ I P 1Q 1 =пр,
U11=O
/
п
тії (^i “ 1) = — 1)р2 ) pUlqn Пі = n(n — 1)р2
H71=O ' 1
и отсюда:
n\ = n(n — 1 )р + пр.
Результат для пї можно было предвидеть. Будем понимать теперь под V отклонение от этого среднего значения, т. е. разность п\ — пр. Для среднего квадрата этой величины находим:
V2 — п\ — 2п\пр + п2р2 = п(п — 1 )р2 + пр — 2 п2р2 + п2р2 =
/ 2\ П1П2
= пур — P ) = ГфГ/ =
п
IV. (Стр. 64)
1. Вот как можно определить электромагнитное поле, производимое в однородном изотропном диэлектрике заданными электродвижущими силами1.
1Cm. примечание на стр. 82.
Примечание IV
105
Пусть E — электрическая сила, H — магнитная сила, D — диэлектрическое смещение, F — электродвижущая сила; ее составляющие — заданные функции координат и времени; допустим далее, что магнитная проницаемость равна единице. Тогда уравнения нашей задачи следующие:
У
IdD
X
ду dz дЕ, SE
у
с dt IdU
X
ду dz с dt где с — скорость света в пустоте и
D = є(Е + F).
и т. д..
и т. д..
(5)
(6)
Введем вектор А, составляющие которого определяются уравнениями
д2Ах д2Ах д2А
*зи і *зи і
X
1 д2Ах
дх2
ду‘
Dz'
dt2
X
и т.д.;
(7)
в них
и =
скорость света в рассматриваемой среде. Тогда функции
Еж =
у дА.
H
X
д_(дАх + дА
дх \ дх ду dz
є f dAz _ дАг
с dt \ ду dz
)
д2А
X
dt2
и т.д..
)
И т.д.
(8)
удовлетворяют уравнениям (5) и (6). В этом легко убедиться непосредственной подстановкой.
Дифференциальные уравнения (7) имеют решение
Ах ~ 4тг
Lf I
Vk J г
dv и т. д.,
(9)
где интегрирование распространено на все бесконечное пространство, г — расстояние объемного элемента dv от точки, для которой А вычисляется, а значок t — указывает, что для определения А во время t
Uu
106 Примечания автора
нужно брать значения Fx, F27, Fz в элементе dv в момент времени t—
Видим, что формулы (8) и (9) содержат полное решение задачи.
2. Воспользуемся этими результатами, чтобы найти поле, производимое периодической электродвижущей силой, имеющей составляющие
