Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, как мы это делали уже несколько раз, два тела С\ и C2, могущие обмениваться энергией, и ищем «наиболее вероятное» распределение. Допустим для этого, что первое тело может находиться в большом числе «элементарных» состояний, принимаемых нами за равновероятные a priori, и пусть TIi dEi — число этих состояний, для которых энергия тела заключается между Ei и Ei + dE1; здесь Пі — функция от Ei. Сделаем ту же гипотезу относительно второго тела и обозначим через П2 dE2 число элементарных состоянии, для которых энергия этого тела заключается между E2 и E2 + dE2. Предположим, наконец, — гипотеза эта существенна для нашего рассмотрения — что элементарные состояния первого тела независимы от таковых второго; вероятность энергий двух тел одновременно заключаться между Ei и Ei H- dEi, и, соответственно, между E2 и E2 + dE2 равна тогда
ПіП2 dEi dE2. (33)
Ее можно представить на плоскости, взяв две оси прямоугольных координат и нанося на них значения Ei и E2. Если распределить в этой плоскости большое число точек таким образом,что их плотность в точке (Ei, E2) равна TIiTI2, то выражение (33) есть не что иное, как число точек, расположенных внутри элемента поверхности dEi dE2.
Введем, наконец, условие, что полная энергия заключается между E и E + dE. Наши изображающие точки все должны лежать в бесконечно тонкой полосе, заключенной между прямыми
Ei + E2 = E и Ei + E2 = E + dE.
Элементом этой полосы, заключенным между ординатами Ei и Ei+dEi, является параллелограмм площади dEi dE, и выражение
TIiTI2 dEi dE
представляет вероятность, что при выполнении условия о постоянстве полной энергии энергия тела Ci заключается между Ei и Ei + dE.
Флуктуации в черном излучении
77
Наконец, наиболее вероятное распределение соответствует максимуму произведения П1П2 ИЛИ, если положим
Si = k log Пі и S2 = HogTI2, (34)
максимуму суммы g _ g _|_
Условие для максимума — равенство производных:
dSi OS2
и
дЕі дЕ2 ’
і
их общее значение обозначим через —.
Таким образом, наш результат получен, не вводя ни координат, ни моментов для тел Cl, C2 и не упоминая о законах механики. Чтобы вернуться к случаю, когда эти законы применены к телам, так сказать «правильным», достаточно предположить, что число элементарных состояний такого тела, для которых энергия заключается между E и E + dE, пропорционально объему соответствующей фазовой протяженности. Величина П тогда имеет значение, указанное в первой лекции.
Ho с той точки зрения, которой мы стали теперь придерживаться, условие равновесия
дБг _ OS2 _ 1 OEi ~ OE2 ~ T
обладает значительно большей общностью. Так, одна из частей системы Cl, C2 может быть, например, частью черного излучения, соответствующей данному промежутку чисел колебаний.
Заметим еще, что наше рассуждение легко распространить на систему, в которой мы отличаем более чем две части, и что, вообще говоря, величины, определенные уравнением (34), могут быть названы энтропиями. Если предположить, что по крайней мере одна из частей системы есть «правильное» тело, то можно убедиться, что величина T — действительно температура.
37. Флуктуации в черном излучении. В заключение остановимся на одном из следствий применения исчисления вероятностей к эфиру или к определенной части черного излучения, ставшим возможным благодаря предшествующему рассуждению. Для системы, в которую входят такие части, можно вычислить — совершенно так же,
78
Лекция четвертая
как мы это сделали для другого случая в предыдущей лекции — флуктуации энергии. Если одна из частей находится в соприкосновении, т. е. в условиях обмена энергией, с большим числом других частей или же с одной частью, но значительно большей, то средняя квадратичная флуктуации энергии дается формулой:
?2 = кТ2С, (35)
где с обозначает теплоемкость, определяемую уравнением:
с = §¦ <=*>
Таким образом, если известно E как функция Т, то известно и є2,
и обратно, если известно є2, то известно с, а, следовательно, и Это приводит нас к замечанию, что можно воспользоваться данными опыта различным образом, когда мы стремимся получить представление
о том, что происходит в теле при повышении температуры и испускании энергии. Можно рассматривать — и это есть наиболее прямой путь — уравнение:
E = /(T)
для энергии черного излучения и строить теорию, делая гипотезы
о строении материи и излучения — такие, что теоретическая форма функции / удовлетворяет опытным данным о зависимости E от Т. Идя таким путем, П л а н к пришел к гипотезе квантов энергии.
Ho можно идти и другим путем: рассматривая представление E как функции от T как чисто эмпирическое, вывести отсюда по формуле (35) значение є2, которое теперь рассматривается как значение «экспериментально полученное»; затем делать такие гипотезы о структуре материи и строении излучения, которые могут объяснить эти флуктуации. Согласно формуле (35), теория, дающая согласие с опытом для є2,
H W1
даст нам также значения ; таким образом, остается сделать только
