Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
UjJ-
один шаг, чтобы получить теорию, приводящую к значениям энергии, непосредственно даваемым опытом.
Становясь на эту точку зрения, можно сказать, что флуктуации не только необходимое следствие из современных теорий, HO что они еще дают ключ к пониманию всей теории черного излучения.
Лекция пятая
38. Формула Планка для черного излучения. Мы займемся в этой последней лекции теоретическим изучением черного излучения.
Мы видели, что, делая определенную гипотезу — весьма общего характера — об определении вероятности данного состояния сложной системы, можно распространить применимость статистических методов на системы, части которых не повинуются законам классической механики. Такой частью может быть, например, определенная часть излучения, заполняющего эфир, соответствующая промежутку частот колебаний от V до v + dv1.
П л а н к2 показал, что в состоянии равновесия этой элементарной части излучения принадлежит энергия, даваемая для единицы объема эфира формулой:
где с — скорость света, h — постоянная, ныне называемая «постоянной
D
П л а н к а», и к — постоянная, уже встречавшаяся, равная . Абсолютная температура обозначена, как всегда, буквой Т.
Опыт подтверждает эту формулу очень хорошо. Мы вправе, таким образом, рассматривать ее как формулу эмпирическую и при ее помощи вычислять, как это было указано в конце последней лекции, флуктуации энергии.
Пусть остальная часть системы, к которой мы применим статистические методы, состоит из обычного тела, в котором, однако, мы будем отличать различные элементы. Пусть там будут материальные
1H буду обозначать через v число колебаний в секунду и через п число колебании во время 27Г. Эти числа я буду называть «частотой» колебаний, не давая им отдельных имен.
2M. Planck, Vorlesungen uber die Theorie der Warmest г ahlung, 2-е издание, Leipzig, 1913.
80
Лекция пятая
атомы, повинующиеся законам классической механики и имеющие среди сложности того, чем мы занимаемся, вид старых друзей и друзей надежных, от которых нечего бояться каких-либо особенных затруднений. Ho к этому миру атомов нужно прибавить мир вибраторов или резонаторов. Они-то будут производить излучение, испускаемое телом при повышении температуры. По этой причине нужно, чтобы их природа была электромагнитной, так как они должны производить электромагнитные волны. Каждый из них обладает собственным периодом колебаний. Мы предположим, что существуют вибраторы всевозможных сортов, т. е. для всех значений частоты v. Мы можем их подразделить на группы, причем каждая группа соответствует определенному промежутку частот dv и содержит в единице объема весьма большое число вибраторов.
39. Энергия вибратора в поле черного излучения. Мы покажем сперва, что энергия вибратора может быть получена из функции, рассматриваемой в качестве эмпирической, дающей энергию E dv элементарной части излучения. Если за эту функцию взять функцию Планка, даваемую формулой (36), то энергия вибратора частоты v равна
Hv
hv ^
Є кТ — \
если речь идет об одной степени свободы1.
Можно, к счастью, для решения этой задачи пользоваться обычными законами электромагнетизма. Рассмотрим самый простой вибратор, состоящий из электрона заряда є, притягиваемого к положению равновесия квазиупругой силой, пропорциональной смещению Пусть он помещен в излучение, в котором мы рассматриваем для начала только промежуток V, V + dv. Если составляющая электрической силы излучения по направлению ОХ, в котором перемещается электрон, равна Еж, то уравнение движения электрона напишется так:
т|| = -«-»| + (38)
1Mbi не будем говорить здесь о втором виде теории Планка (1. с.), согласно которой средняя энергия вибратора превосходит величину, указанную в тексте,
на
Энергия вибратора в поле черного излучения
81
Электрическая сила Еж выражается так:
Еж = a cos п?, (39)
если положить
п = 27TZA
Для решения уравнения мы воспользуемся общепринятым приемом, а именно, возьмем для Еж комплексное выражение:
Еж = аегпі.
Под влиянием излучения частоты v электрон совершает вынужденные колебания того же периода. Можно, таким образом, представить ? выражением, аналогичным таковому для Еж. Подставляя это выражение в уравнение (37), сразу находим:
/ _ QjE Ant
S /2 2\i * 5
т(щ — п ) + nwi
где
= Jl
п° у ш*
Величина равная , есть частота свободных колебаний элек-
Z7T
трона. Нам нужна энергия вибратора. Она дана формулой:
ъ
f Hdt = Ifl?,
О
если обозначить через b максимальную элонгацию электрона; таким образом, достаточно вычислить Ь2. Ho b равно модулю коэффициента при eint в выражении для Таким образом получаем:
1 тп^є2 2
2 ш2(пр — п2)2 + U2W2
С другой стороны, среднее значение квадрата выражения (38) рав-1 2
но -а ; ограничиваясь той частью излучения, которая соответствует
Li
82
Лекция пятая
рассматриваемому промежутку частот, мы можем, таким образом, написать:
E2 = -а2-
±JX Q Ur ,
так как направление колебаний в нашем промежутке частот совершенно
