Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лоренц Г.А. -> "Статистические теории в термодинамике" -> 22

Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.

Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике — Ижевск, 2001. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskieteorii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 54 >> Следующая

Движение взвешенной частицы

67

кинетической энергии молекулы. При обозначениях, которые мы уже ввели, это общее значение энергии равно

—кТ = —

2 2 TV

Заметим еще, что согласно этим рассуждениям, тело или частица, участвующие в тепловом движении, получают на каждую степень свободы среднюю кинетическую энергию, равную

IkT.

Рассмотрим теперь частицу эмульсии и изучим действие, производимое на нее молекулами жидкости. Для этого напишем уравнение движения частицы, ограничиваясь для простоты составляющей движения, направленной по оси х. Если v — скорость частицы, га — ее масса и Ф — действующая сила, то

_ dv л га — = Ф.

dt

Сила Ф может быть разложена на две силы. Одна из них — сопротивление, противопоставляемое жидкостью движению частицы; ее можно рассматривать как среднюю силу. Вторая часть относится ко всем разностям между действительной силой и этой средней силой, происходящим от ударов молекул. Так как мы допускаем, что скорость частицы незначительна, то сопротивление ее движению будет равно

—LOV,

где коэффициент Uj не зависит от скорости. Вторую часть силы обозначим через F и предположим о ней — там где это нам понадобится — что она не зависит от скорости v и потому может вычисляться так, как будто частица находится в покое. Уравнение движения гласит

= -LJV + F. (27)

dt

Интегрируем его по промежутку времени т — достаточно малому, чтобы в первом члене справа скорость могла бы считаться постоянной
68

Лекция четвертая

за этот промежуток. Получим

m(vі — v) = -UJVT + J F dt.

где Vi — скорость в конце промежутка т. Вводим обозначение

X = / Fdt.

/

Величина X есть импульс, сообщенный частице за время т толчками молекул. Можно, таким образом, написать

«і = + ^ (28)

Среднее значение импульса X, очевидно, равно нулю, ибо толчки молекул происходят безразлично и тем же образом как в одном направлении, так и в другом. Мы желаем определить среднее значение X2, которое обозначим, как обычно, через X2.

Чтобы вычислить эти величину, возведем в квадрат обе части предыдущего уравнения, пренебрегая членами второй степени относительно т, так как этот промежуток времени, по предположению, весьма мал. Получаем:

»?=»’(!-%? Wl-S)

X + Xi

т т2

Отсюда легко получить выражение для средней кинетической энер-

1

гии частицы: достаточно умножить обе части на -га и взять среднее от

Li

различных членов, распространив его на большое число частиц. Среднее от произведения vX, так понимаемое, равно нулю, так как X не зависит от скорости v, а, следовательно, множители v и X могут принимать как равные, так и противоположные знаки. Итак, получаем:

\mvl = \mv

Ho так как средняя кинетическая энергия частицы должна оставаться

і

неизменной во времени и равной -кТ (мы ограничиваемся движением

Li
Обобщенное броуновское движение

69

в одном направлении), то отсюда получаем1:

2га 2 га

или

X2 = 2 LjkTr.

(29)

34. Пропорциональность сопротивления и среднего квадрата импульса. Обобщенное броуновское движение. Формула эта замечательна с различных точек зрения. Во-первых, она вполне согласуется с увеличением величины импульса при возрастании температуры, которое следует предвидеть; абсолютная температура T действительно входит множителем во второй член. Что касается множителя т, то его также легко предвидеть, ибо, если импульс равен Х\ в продолжение промежутка Ti и X2 — за время т2, то средний квадрат импульса за время промежутка т, равного т\ + T2, равен

Таким образом, средний квадрат импульса должен быть пропорционален т.

Ho наиболее замечательным в уравнении (29) является его большая общность. Оно будет иметь тот же вид для вращательного броуновского движения С соответствующими значениями ДЛЯ LJ и X2. Будем иметь снова эту формулу, если будем рассматривать другого рода броуновские движения. Рассмотрим, например, замкнутый проводник. Беспорядочное движение электронов, совершенно схожее с тепловым движением газовых молекул, даст в нем повод к возникновению электрических токов, направление и интенсивность которых беспрерывно меняются. При изучении этих флуктуаций переменной координатой будет количество электричества, протекшее начиная с некоторого момента времени через сечение проводника. Величина lj — электрическое

1MeTOfl, которым мы здесь пользуемся, принадлежит Эйнштейну и Xon-

ф у, см. Ann. d. Physik 33, 1910, 1105.

(X1 +X2)2 = X12 + X

2 2 ?

так как имеем

XiX2 = 0.
70

Лекция четвертая

сопротивление проводника, X — электродвижущий импульс, связанный уравнением

X =

с электродвижущей силой F, существующей в каждый данный момент.

Снова имеет место общая формула (29).

Что в ней особенно интересно — это (при постоянстве Тит) постоянное отношение между X2 и uj. Если можно изменить обстоятельства броуновского движения так, что при постоянной температуре возрастает средний квадрат импульса X2, то, наверное, одновременно изменится сопротивление движению так, что отношение

X2

UJ

останется постоянным.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 54 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed