Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
F dr] dQ
— число молекул в единице объема, для которых составляющие скорости заключаются между ? и ? + г] и г] + dr/, ( и ( + d(, и пусть п — число этих молекул, которые встречают площадку за промежуток времени т. Если площадка движется поступательно, причем составляющая ее скорости по оси х равна и, то имеем
п = г da • (и — ?)F d? dr] d(.
Броуновское движение в сильно разреженном газе
73
Конечно, рассматриваемые столкновения могут происходить только тогда, когда
причем составляющая скорости и может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Если масса площадки весьма велика по сравнению с массой га молекулы, то количество движения, полученное площадкой от одного удара, имеет своим выражением
2га(? — и).
Отсюда для силы, производимой на диск ударами молекул рассматриваемой группы, получаем:
—2га da • (? — и)2 F d? dr] d(.
Полная сила, действующая на диск, таким образом равна
О +оо +оо
—2 га da /// (?2 - 2u?)F dr) dC, (30)
-OO —OO —OO
если пренебречь членом, содержащим и2, и заменить нулем верхний предел и интеграла, взятого по ?, что равносильно пренебрежению членами порядка и3.
Вернемся теперь к шару радиуса а, имеющему слабую поступательную скорость V. Пусть da — любой элемент его поверхности и в — угол, образуемый нормалью к этому элементу, проведенной наружу, с направлением поступательного движения. Составляющую по этому направлению силы, производимой газом на элемент da, получим, умножая выражение (30) на cos в; интегрирование, распространенное на всю поверхность, даст полную силу, действующую на шар; раньше чем его выполнять, следует заменить и на г?cos#.
Член с?2 при этом интегрировании исчезнет, и результат получит
вид:
—UJV,
где
7Г О +оо +оо
w = -J Hmna2 sin в cos2 в dO ¦ Hi d? dr] d(
О —OO —OO —OO
74
Лекция четвертая
или
О +оо +оо
со = — ^7гта2 III d(; dr] d(
7г та
— оо —OO —OO
Итак, мы получили коэффициент сопротивления, вычисление которого
составляет первую часть нашей задачи.
При вычислении X2 можно отвлечься от скорости V шара, но нужно принять во внимание то обстоятельство, что число ударов, испытываемых элементом da от молекул рассматриваемой категории, не равно точно выражению:
количества движения, сообщаемого рассматриваемой группой молекул шару за время т, и изменение
составляющей этого количества движения по направлению поступательного движения. Благодаря полной независимости ударов, имеющих место о различные элементы поверхности или испытываемых одним элементом от различных групп молекул и в последовательные промежутки времени т, мы получим искомую величину X2 (отнесенную к направлению поступательного движения), вычислив для каждого элемента поверхности средний квадрат выражения (32) и сложив все полученные результаты. Так как имеем
п = —т da • ^F d? dr] dQ. Отклонение v от этого числа производит изменение
2 mv^
(31)
2cos в
(32)
то для X2 получим:
О О +оо +оо
7Г
— OO —OO —OO
ИЛИ
О +оо +оо
X2 = —утгm2a2T JJJ ?3Fd? dr) d?.
— OO —OO —OO
Приложение статистического метода к явлениям излучения
75
Согласно закону Максвелла функция F имеет вид
^ „ -^^2+??2+с2)
F = Ae k
Если воспользоваться этим выражением для формул, дающих со и X2, то найдем
_ 32 7г2а2к2Т2 а ~у2 _ 64 7г2а2к3Т3т л ~ з га ' 3 ш
Эти результаты совершенно согласуются с общей формулой:
X2 = 2сокТт.
Заметим еще, что для этой проверки нужно было воспользоваться законом распределения Максвелла.
36. Приложение статистического метода к явлениям излучения. Займемся теперь вопросом, который кажется вопросом совсем другого рода, но современными теориями связывается с вопросом
о флуктуациях, это вопрос о черном излучении, один из наиболее интересных и наиболее трудных в современной физике. Скажем уже здесь, что мы еще очень далеки от совершенно удовлетворительного решения, несмотря на множество усилий, сделанных для этой цели.
Эти усилия тем не менее привели к результату, который можно считать твердо установленным: чтобы строить теорию черного излучения, нужно отказаться от полного доверия к уравнениям классической механики и электромагнетизма. Они неспособны объяснить, почему эта потухшая печь не испускает желтого излучения, как она испускает излучение с большими длинами волн.
В обсуждение этого мы по недостатку времени входить не будем. Примем, как факт, неудовлетворительность законов классической механики и электромагнетизма. Однако законы классической механики в форме, данной им Гамильтоном, составляют основу статистической механики. Они позволяют нам построить канонические и мик-роканонические собрания и воспользоваться вероятностями, как мы это делали в предыдущих лекциях. На первый взгляд может показаться, таким образом, что статистические теории бессильны помочь нам при изучении черного излучения. Если рассматривать, например, систему, состоящую из материального тела и эфира, заключенного в полость,
76
Лекция четвертая
стенки которой предполагаются абсолютно отражающими, то не видно, как можно образовать собрания и определить вероятность. Мы увидим, однако, каким образом при помощи подходящей гипотезы можно избежать это затруднение и снова применить статистические методы, в полезности которых мы имели уже случай убедиться.
