Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
только одна L-функция (для каждого данного порядка п), при которой р = 0,
т. е. только одна из 2п + 1 общих L-функций данного порядка сводится при
Ъ = с к той самой Li, для которой р = 0.
Таким образом, комбинируя результаты этих двух случаев, мы установили,
что коэффициент устойчивости, соответствующий данной общей L-функции,
исчезает для некоторого промежуточного а : b : с. В дальнейшем будет
показано, что в действительности только этот коэффициент и может
исчезать. Чтобы отличить от оставшихся 2п коэффициентов устойчивости,
которые всегда оказываются положительными, его называют
"характеристическим коэффициентом устойчивости порядка п".
3. Уравнение - ^LiSi = 0 не может иметь корня,
О J71 "I- -L
если в Li есть множитель
Теперь возьмём уравнение
ji = h, {г = 2) при b = с.
Однако если р = 0, то
Li = Dn(t2 - l)n,
h > J2{= 0) при b = с.
(4)
168
Глава VIII
и для того, чтобы найти формы Li, при которых оно не может, иметь
Li
корня, рассмотрим случаи, когда - всегда возрастает.
-02
Опуская L-функции, делящиеся на \/Л + с2 (для которых, как мы видели, это
уравнение не имеет корня), функции Li могут принимать четыре возможных
формы в виде произведений:
Г (/) Li = (А + а - ад)(А + а - ад)...(А + a - am),
1 {И) Li = ^/(А + а2)(А + Ъ2) • (А + а - ад) ... (А + а - am_i) для п =
2т (т ^ 1),
и
Г {III) Li = л/\ + а2 • (А + а2 - ад) ... (А + а2 - ат),
\ (Ю) Д = \/А + 62 • (А У а - ад) ... (А + а - ат) для п = 2m + 1 (т ^
1).
Здесь в каждой Д через од, "2, од, ... обозначены свои корни.
Кроме того, в каждом из четырёх выражений множители расположены в порядке
убывания корней
од > а 2 > од > • ¦ • ¦
Уже было показано (стр. 118), что для любой Li все корни А + а2 являются
вещественными и положительными, а также меньшими, чем а2 - с2. Другими
словами,
О < а < а2 - с2 для всех а.
Отсюда
А + а2 - а > А + с2 ^ О,
поэтому все множители А + а2 - а будут положительными возрастающими
величинами, когда А + а2 увеличивается от а2 - с2 до оо.
Мы имеем также, что при возрастающем А + а2
А + а2 - а д ' о се
-/ = V А + а2 . =
ДА + а2 ДА + а2
= возрастающая величина - убывающая величина
= возрастающая величина для всех а.
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби
169
Очевидно также, что
х+а2-а =
л/х + ь2 л/х + ь2 '
и это выражение будет всегда возрастать при условии, что а > а2 - Ъ2.
Теперь для эллипсоидов Якоби L2 = \/(А 4- а2)(А + 62), так что
отношение может принимать четыре возможных формы, соответ-Ь2
ствующих вышеназванным, и их можно записать так:
/ т\ Li ГЛ + а2 -oi'1/Л + а2 -02\/Л| 2 \ /л, 2 \
СО -г = \------7^=^\(-^==- НА + а -аз)...(Л + а -am),
-02 L л/Л Д- 62 J ' л/А + а2 '
(II) = (Л + а2 - ац) ... (А + а2 - am-i)
1/2
п чётное
и
(///) Й = + а-а2)...(\ + а2-ат),
(IV) Д = (^ЦД=^)(А + а2-а2)...(Л + а2-ат)
V VA + o5 7
п нечётное.
В этих четырёх произведениях, как уже было показано, все множители, кроме
первого в выражениях (I) и (III), всегда являются положительными и
возрастающими.
Отсюда отношение Д в вариантах (II) и (IV) всегда возрастает.
-02
Именно в этих случаях Li можно разделить на л/Х + Ь2.
В случаях (I) и (III) Д будет всегда возрастать при условии, -02
что од > а2 - 62, т. е. уравнение (4) может выполняться, только если
наибольший из корней ад, "2, ¦ • ¦ меньше, чем а2 - Ъ2. Это значит, что
все корни рациональной части Li должны быть меньше, чем а2 - Ъ2.
Можно сделать вывод, что если уравнение (4) имеет корень, то Li не должна
делиться на л/Х + Ь2, а все нули её рациональной части должны быть
меньше, чем а2 - Ъ2. (Пока не установлено, что это уравнение
действительно имеет корень, известно только, что оно не может его иметь,
если Li не удовлетворяет данным условиям.)
170
Глава VIII
4. Только один коэффициент устойчивости данного порядка п может
обращаться в нуль
Чтобы установить это, необходимо отдельно рассмотреть случаи, когда п
нечётное и чётное.
(I) Предполагаем п чётным. L-функции могут иметь только одну из следующих
форм:
Lr, V(A + 62)(A + c2)ir, V(A + c2)(A + a2)Lr, y/(X + a2){X + b2)Lr,
где Lr обозначает рациональный многочлен по Л. Но как было показано в
главе VII, ни один из коэффициентов устойчивости, соответствующих Li и
делящихся на \/Л + с2, обратиться в нуль не может, а в предыдущем разделе
было показано, что они не могут обратиться в нуль и в том случае, если Li
делится на л/Л + Ъ2. Соответственно для чётного п последние три из
вышеописанных форм исключаются, и только коэффициент устойчивости,
соответствующий рациональному Li, может обратиться в нуль. Для этих
рациональных функций кц = = К2 = Kg = 0 (см. стр. 98) и существует А (гг
+ 2) = т + 1 таких функций. Но по теореме Стилтьеса только у одной из них
все нули являются меньшими, чем а2 - Ъ2, а именно у той, для которой г =
ш + 1 = Ап + 1
(в обозначениях, принятых при доказательстве этой теоремы).
(II) Предполагаем п нечётным. Для начала отметим, что теперь возможными
формами для Li являются
\/X + a2Lr, \J А + b2Lr, л/Х + c2Lr, ^(Х + а2)(Х + b2)(X + c2)Lr,
