Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 45

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 76 >> Следующая

Таким образом, среди 2п+ 1 коэффициентов устойчивости 2п попарно равны, и
если любой из них с р ф 0 равен нулю, это значит, что одновременно
исчезают два коэффициента.
1. Сфероид, общий для рядов Маклорена и Якоби
Сначала покажем, что при а = b уравнение
F2 ее iiiSi - \l2S2 = о (Л = 0), (2)
где Ь2 (одна из трёх функций Ламэ второго порядка) соответствует р = = 2,
п = 2, имеет единственный корень, который соответствует той точке на
последовательности Маклорена, где ответвляется ряд Якоби. То есть он
соответствует уже установленной точке бифуркации на этих рядах, если
допускаются только определённые ограниченные смещения второго порядка
(стр. 79 и далее).
В данном случае, опуская положительные постоянные множители, имеем
L2 = (1 + т2)И4(1 + т2)2 = а2 + А,
откуда
ОО
S2 = (а2 + Л) f J
5 dX
2 (а2 + Л)2 у/ (а2 + Л) (Ь2 + Л) (с2 + Л) Также имеем
ОО
3 dX
Ьг = \J с2 + Л, Si = \J с2 + Л J
2 (с2 + Л) у/ (а2 + Л) (Ь2 + Л) (с2 + Л)
Л
Если подставить эти выражения в коэффициент устойчивости и положить Л =
0, то уравнение (2) в развернутом виде будет таким:
ОО
с2 Г dX
J (с2 + Л) у/(а2 + Л) (Ь2 + Л) (с2 + Л)
_ п4 j ______________________dX_____________________ _
а J (а2 + Л)2у/(а2 + Х)(Ъ2 + Л)(с2 + Л) "
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
149
Теперь, если подставить а = Ъ, то имеем
О, (3)
ОО оо
2 / dX 4 I d\
э (а2 + Л)(с2 + A)Vc2 + Л У (а2 + Л)3фс2 + Л
что идентично условию для эллипсоида Якоби при подстановке а = Ъ (стр.
72). Таким образом, мы установили не только то, что уравнение (2) имеет
корень, но и то, что при а = Ъ этот корень единственный, поскольку
существует только один сфероидальный член ряда Якоби.
2. Уравнение Е) = О
(Необходимо отметить, что доказательства, представленные в этом разделе,
относятся к общему случаю а > Ъ > с и поэтому применимы в равной степени
и к фигурам Маклорена, и к фигурам Якоби.)
Если т2 используется в качестве переменной, то сферической форме а = Ъ =
с соответствует с = оо, т. е. т2 = сю. И вновь, бес-
а - с
конечно сплющенный дискообразный сфероид а = Ъ = оо, с = 0 соответствует
(т.к. Л = 0) Л + с2 = 0, т. е. т2 = 0. Следовательно, если рассматривать
т2 как постепенно убывающий от сю до 0 параметр, соответствующая фигура
равновесия представит ряд Маклорена от сферической формы до сфероида с
исчезающе малой толщиной.
Рассмотрим затем на этом промежутке график функции р2(т2). Вблизи т2 = сю
её значение (стр. 130) примерно равно ^ ^ j А-1/2, следовательно, эта
функция положительная и убывающая для больших Л. Обозначим через т2 = &2
единственный конечный корень уравнения. Тогда график будет иметь вид, как
показано на рис. 15: он должен быть положительным при т2 = ^>ис'
= сю, далее будет возрастать, когда т2 убывает, и в итоге пересечет эту
ось при т2 = &2- (Конечно, может существовать более одного максимума
между сю и &2) но эта точка1 не будет иметь отношения к последующему
доказательству.)
1 Точнее, эти точки. - Прим. ред.
150
Глава VII
Для доказательства, что F2 есть первый коэффициент устойчивости, который
обращается в нуль, следует установить, что при т2 + к2 любой другой
коэффициент устойчивости Д превышает F2. (Этот результат, который можно
строго доказать, является условием достаточным, но не необходимым.)
Другими словами, надо показать, что
i-LiSi - 2^1+ ^LiSi > - ^L2S2 при т2 + к2,
т. е.
^L2S2 - 2п^_ 1Lisi > 0 ПРИ т2 > к2.
Мы докажем, что это неравенство выполняется строго для всех т2 > 0, т. е.
для всех А + а2 > а2 - с2, а это гарантирует то, что оно выполняется для
т2 + к2, поскольку данное значение соответствует первой фигуре Якоби и в
силу этого должно быть положительной величиной.
Чтобы установить это, начнем с рассмотрения более общего уравнения от А +
а2
Fs?^+TL'A-*r+TL'S' = °- (4)
где т обозначает порядок функции Ламэ Lk. Давайте исследуем корни (если
они есть) этой функции при т2 > 0.
Для начала заметим, что поскольку LS -> А-1/2 при А -> сю для любого
порядка п, F -> 0 при т2 -> сю. Кроме того, как было уже показано (стр.
118), все корни рациональной части уравнения
L(X + a2) =0
лежат между 0 и а2 - с2 и нуль существует при а2 - с2 только если L
содержит в качестве множителя радикал ДА + с2. Отсюда, если рассматривать
только значения А + а2, существенно большие, чем а2 - с2 (для чего надо
исключить А + а? = а? - с2), корни F = 0 будут такими
тр 1
же, как у - = 0, т. е. как в уравнении Lk
1 Sk i sk Ц_ _ " /_ч
2m + 1 Lk 2п + Г U ' Ь\ ~ [ '
1 F
В оригинале -- =0. - Прим.ред.
КС
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена 151
Теперь, если продифференцировать это уравнение по А, получим урав-
нение, корни которого чередуются с корнями1 уравнения (5). Это уравнение
есть
d [ 1 Sp 1 Су d [ 1 Sjl 1 Si d [ Су 1 .
dX l2mTT'Z^J Zf'dA\2nTl'Z"J 2n + l'Ti'd\ llfJ W
Но по определению S-функций
OO
g f (2n + l)dX
где
откуда
L J 2 L2A '
A
Д2 = (A + a2)(A + b2){ X + c2),
d f 1 SI = L J_
dA 12n + 1 ' T J L2'2A'
С учётом этого результата первые два члена в уравнении (6) исчезают, а
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed