Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
второго порядка малости. Сама гравитационная энергия слоя тоже является
малой величиной второго порядка. Поэтому работать с поверхностным слоем в
первом приближении можно, если в точке (жо, уо, zo) на единицу площади
добавить массу величиной1
Обозначим потенциал такого слоя через рь • elXt-
Если вышеописанное упрощение годится при вычислении потенциала бесконечно
малой колонки, окружающей PN, то, очевидно, оно уже не проходит при
формулировании условия, выражающего исчезновение давления на свободной
поверхности. В самом деле, при колебании эта свободная поверхность
находится уже не в (жо, уо, zo), а в некоторой другой точке (ж, у, z).
Поэтому, чтобы получить давление р с точностью до первого порядка
малости, вклад в полный механический потенциал от притяжения
невозмущённой конфигурации и центробежной
1По физическому смыслу величины ?;,//, ц обозначают здесь компоненты
беско-нечно малого лагранжева смещения. Проекция этого смещения на
нормаль к эллипсоиду и даёт искомую поверхностную плотность возмущающего
слоя. - Прим. ред.
где (р теперь обозначает гравитационный потенциал возмущённой
конфигурации. Чтобы вычислить ip в общей точке, возмущённую массу можно
рассматривать состоящей из фигуры равновесия с наложенным на её
поверхность жидким слоем толщиной PN (рис. 19)
Рис. 19
PN = l(x-x0)+m(y-yo)+n(z-z0)7
p(Ui + ту + п()егМ.
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби 187
силы следует вычислять в точке (х, у, z). С другой стороны,
гравитационный потенциал поверхностного слоя можно вычислить и в точке
(ж0, уо, z0).
Если - хе - полный механический потенциал в точке (xq, уо, Zq) свободной
поверхности равновесной конфигурации, то потенциал в точке (х, у, z)
возмущённой конфигурации
9хе, ч Эхе, ч 9хе, ч ш
-Хе - щ-(х - х0) - щ-(у - уо) - щ-(z -z0) + (pL-e , дх0 дуо ozo
Но, как объяснялось выше, на равновесной свободной поверхности (а в
действительности, и внутри) хе является постоянной и равной хо-Отсюда,
поскольку у = ipelXt + хо, имеем
"*, V, z,t)=(^+V^ +
s дх0 дуо dzo
Охе
Теперь --, --, -- являются просто составляющими полной силы
oxq дуо ozo
(гравитационная плюс центробежная) на поверхности фигуры равновесия, а
поэтому и составляющими измеряемой (apparent) гравитации на поверхности1.
Таким образом, если д(хо, уо, zo) - значение силы тяжести, то
дхЕ Охе Охе , ч , 1
эУ ' ~W" : ЕХ ' ч> =1 ¦ :п:1'
а отсюда
гр{х, у, z) = g{li + ту + пС) - уэь. (6)
Теперь, если допустить, что невозмущённая свободная поверхность является
поверхностью эллипсоида
о 2 о
X , У , Z Л ( 2 ^ i2 ^ 2ч
"Л + ТД Н п = (а >Ь >С '
а1 Ъ1 <г
1 Принято просто говорить: составляющими силы тяжести на поверхности.
Прим. ред.
188
Глава IX
то
рж0 руо pzo .
I : то : п : 1 = - : - : - а Ъ с
где
J_ = Уо ?о
2 4 1 4 4 '
р а Ь с
Напомним, что1 р = toabc, где и> - величина, определённая на стр. 126.
Теперь запишем
_ адщ уо" , го, 1^ + гщ + пС,
|Т = ^ + Г' + ?< =---------v--------' (7)
тогда, переписав уравнение (6), имеем
ф = дра-рь. (8)
(Далее индекс 0 при координатах хо, Уо, %о опускается).
Но на стр. 137 было показано, что произведение дш, а отсюда и др,
является постоянным на поверхности эллипсоида и даётся в виде
др = ^TrGpabcLi(X = 0)Si(A = 0),
0
где
Ьг = л/\ + с2,
ОО
Si = VA + C2 /-------------------------- 3dA
1 2(A + c2)y/(a2 + A)(62 + A)(c2 + A)
причём A = 0 есть рассматриваемый эллипсоид. Множитель Gp для удобства
можно принять за единицу.
Теперь, чтобы прийти в приемлемом виде к условию на поверхности,
необходимо только выразить а через гармонические поверхностные функции.
Величины ?, у, ф а значит, и сг, являются функциями точки на поверхности
эллипсоида. Поэтому в общем случае последнюю можно разложить в ряд по
функциям Ламэ (конечно, включая только у и v), таким образом:
<т = ^AkMkNk, (9)
к
JHe путать это р с давлением в жидкости. - Прим. ред.
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
189
где Ак - (малые) постоянные. Потенциал поверхностного слоя толщиной ра,
который наложен на эллипсоид, теперь можно просто переписать со стр. 134
л и л Lk(0)Sk(0) ipL = Air abc } y Ак---MkNk,
к
2n + 1
(10)
где n - порядок функций Ламэ Lkl Мк, Nk. Следовательно, на поверхности
эллипсоида из уравнения (8) имеем
ф = AirabcS)TjAk^LiSi - ^~fiLkSk] x_0MkNk' (П)
Для краткости запишем
Н0 = ^a&cii(0)5i(0) и Нк = 2п + 1
Lk(0)Sk(0).
Тогда граничное условие, которому должны удовлетворять функции ?, г], ф
ф, должно быть эквивалентным следующему:
Если постоянные в разложении функции
1? + ту + п( а= Р------------
по эллипсоидальным гармоникам обозначить через Ак, то константы
разложения ф на эллипсоиде должны иметь вид 27г(Ло - Hk)Ak.
3. Выражение граничного условия через ф и её производные
Решение первых трёх уравнений (5) для ф г/, ? при условии А(А2 - - Аси2)
ф 0 даёт
(дф_ _ 2iuo дф\
V дх А ду )
г/ =
(А2 - 4а;2) :
(дф_ , 2iuo дф\ \ду А дх)
(А2 - 4а;2)
(12)
дф " _ dz
190
Глава IX
Их подстановка в уравнение неразрывности показывает, что tp в
