Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
вместо Л в качестве независимой переменной взять и (стр. 129), уравнение
Ламэ для Ln и Lp становятся такими:
cL2Ln du2 d2 Lp du2
- \n(n + 1)(A + a2) - K^Ln, (7)
= {p(p+l)(X + a2)-K'p}Lp (8)
174
Глава VIII
(постоянные К'п и К' были записаны со штрихами, чтобы в правой части
вместо Л в качестве переменной можно было взять Л + а2). Теперь, чтобы
отношение ^ не было всегда возрастающим, требуется
Ьр
(как показано в главе VII, стр. 152), чтобы уравнение от Л + а2
ф = {п{п + 1) - р{р + 1)}(А + а2) - (К'п -К'Р)= О
имело корень, больший, чем а2 - с2, а это невозможно, как видно из
следующего доказательства.
Имеем (со стр. 129)
dLn dLn dX о /7\ | rm I mix I . ¦> \ dL
du d)
Отсюда выражение
^ = ib.. ? = _2 ДдТДклТДйлТД)^. (в)
т dLn dLp
Р J п 1
du du
обращается в нуль при А + а2 = а2 - Ь2 и при А + а2 = а2 - с2, так как
равенства А + 62 = 0иА + с2=0 обращают радикальный множитель в нуль (сама
же Ln не содержит \/А + Ъ2 или \/Х + с2 в качестве множителя). Но из
дифференциальных уравнений для Ln и Lp имеем
1тт _ г d2Ln т d2Lp _ d (т dLn т dLp ^ фЬпЬр - Ьр Ln ^ [Lp ^ Ln du),
(10)
отсюда фLnLp должно обращаться в нуль как минимум один раз в интервале
2 1.2 , \ , 2,2 2 а -о <А + а < а -с .
Но LnLp не может обратиться в нуль, т.к. все нули, а также Ln и Lp,
меньше, чем а2 - Ь2. Отсюда сама ф должна обратиться при некотором А + а2
в нуль, а поскольку ф является линейной, она не может обратиться в нуль
где-то ещё.
Таким образом, мы установили, что во всех случаях отношение ^
Ьр
всегда возрастает, так что Сп > Ср при п > р, а отсюда следует, что
коэффициенты устойчивости, соответствующие гармоническим функциям
порядков 3, 4, 5, ... последовательно обращаются в нуль, когда ряд Якоби
рассматривается в направлении возрастающего углового момента.
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби 175
5. i-функция, соответствующая характеристическому коэффициенту
Чтобы найти характеристический коэффициент любого данного порядка гг,
можно использовать следующее свойство: при b = с соответствующая i-
функция сводится к Dn(t2 - 1)(tm).
Этот результат может быть установлен независимо от того, что в общем
случае все корни L должны быть меньше, чем а2 - Ъ2. Если взять b = с, то
корни, меньшие а2 - Ъ2, останутся прежними. Но тогда L сводится к
L = (t2 - 1 )P/2Dp+n(t2 - 1)и, (11)
и до тех пор, пока р ф 0, существует корень t2 = 1, т. е. Л + а2
= а2 -
- с2 > а2 - Ь2 (р = 1 исключается, т. к. это дало бы \/Л + с2
в качестве
множителя).
Например, для п = 3 нам требуется найти общую функцию Ламэ третьего
порядка, которая при Ь = с сводится к
D3(t2 - I)3 = t(5t2 - 3) = \/а2 + А^А + |а2 + |с2^,
где постоянные множители опущены. Функции Ламэ третьего порядка даны на
стр. 24. Можно легко проверить, что подходящей функцией является
L3 = \/Х + а2^Х + |(а2 + 2 Ъ2 + 2 с2)+
+ I(о4 + 464 + 4с4 - 7Ъ2с2 - с2а2 - аЧ2)1/2].
Эллипсоид Якоби, для которого характеристический коэффициент устойчивости
третьего порядка обращается в нуль, был определён Дарвиным1, который
нашёл
а : Ь : с = 1, 8858 : 0, 8150 : 0, 6507,
-^= 0,1420, Я = 0,3896
р
(см. таблицу II на стр. 73). Отсюда можно сделать вывод, что все
эллипсоидальные формы, вытянутые менее этой, являются вполне устойчивыми,
т. е. обладают и вековой и обыкновенной устойчивостью, а все
1 Собрание сочинений, т. III, с. 312 (авт.)-
176
Глава VIII
более вытянутые эллипсоиды обладают вековой неустойчивостью, по крайней
мере для гармонических смещений третьего порядка1.
6. Грушевидная фигура
В соответствии с теорией линейного ряда конфигураций равновесия,
появление точки бифуркации на последовательности эллипсоидов указывает на
то, что в этой точке его пересекает другой линейный ряд. Пока свободная
поверхность жидкой массы ограничена эллипсоидальной формой, т. е. пока 4
зависит только от гармонических функций
Со
второго порядка, ни одна точка бифуркации не может себя обнаружить.
Именно это и имеет место в случае ряда Маклорена, который всегда обладает
вековой устойчивостью, если допустимы только сфероидальные формы. Далее,
начальную форму нового ряда можно получить наложением на эллипсоид малой
нормальной деформации ?/и5, зависящей от специальной поверхностной
гармонической функции M3N3, через которую проявляется неустойчивость (как
и в сфероидальном случае, когда начальные члены ряда Якоби можно получить
посредством малой деформации, пропорциональной M2N2, при которой
появляется эта неустойчивость).
Если взять малую, но конечную ?/Ф, то можно вычислить характеристики для
формы членов нового ряда. В своих первых "Мемуарах" по этому вопросу
Пуанкаре дал эскиз поверхности новой фигуры. Хотя эта фигура не обладает
круговой симметрией относительно наибольшей оси (начального эллипсоида,
для которого во Рис. 16. (Из Пуанкаре) всех случаях b Д с),
однако сходство
с грушей было настолько впечатляющим, что новую форму назвали
"грушевидной формой", а ряд - "грушевидным рядом". С тех пор новую форму
