Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 46

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 76 >> Следующая

полученное уравнение имеет вид
AAS^1\ =
U dX \ L2
= О- (7)
Jk '
Его корни чередуются с корнями в (5) или (4).
Поскольку Li, а поэтому и S*, положительны на промежутке
2 2 - \ 2 -а - с < А + а < оо,
g.
множитель -1 не может быть равным нулю, а уравнение (7) просто
L
выражает условие, при котором -Д- имеет на этом промежутке крити-
Lk
ческое значение. Отсюда значения, при которых это происходит, чередуются
с корнями уравнения (4).
Дифференцирование по А можно заменить дифференцированием
по и (стр. 129), поскольку ^ не может исчезнуть при А + а2 > а2 - с2,
d\
так что уравнение (7) приобретает вид
г г ^Lk - п (я.\
Lk~i----Li-- - U. (")
du du
1 Относительно слова "чередуются" здесь и ниже см. комментарий (12). -
Прим.
ред.
152
Глава VII
Последующее дифференцирование по и даёт уравнение, корни которого
чередуются с корнями уравнения (8), а именно
d2Li d2Lk
Lk~^?-Li~^r = 0- (9)
UjUj ум Uj
Но уравнение Ламэ, если в качестве независимой переменной взята и, для Li
и Lk даёт
d2Ll
du2
d2 Lk du2
{n(n + 1)A - Ki}Li, {m(rn + 1)A - Kk)Lk.
Подставляя эти производные в уравнение (9) и опуская множитель LiLk,
который не может быть равным нулю при А + а2 > а2 = с2, в конечном итоге
приходим к простому линейному уравнению
{п(п + 1) - ш(ш + 1)}А = Ki - Кк. (10)
Так как это уравнение первой степени, очевидно, что оно может иметь
максимум один корень, больший, чем а2 - с2. Отсюда, уравнение (8) может
иметь максимум два таких корня, а уравнение (4) - максимум три,
являющихся значениями А + а2, превышающими а2 - с2.
Отметим также, что если сю окажется корнем уравнения (4), а это (как
будет показано позже) так и есть, то он будет считаться одним из тех
самых максимум трёх корней, чье возможное существование подтверждается
вышеописанным доказательством. Тогда это будет означать, что уравнение
(4) может иметь максимум два конечных корня, больших а2 - с2. Этот
результат нам очень пригодится ниже в случае (II).
Установив этот результат для общего уравнения F = 0, вернемся к
первоначальной форме уравнения (1), а именно к +) = 0. Исследование
требует рассмотреть три следующих случая:
(I) Допустим, что Li содержит фА + с2 в качестве множителя.
Тогда мы можем записать Li = фА + с2(фА)/фА), где +(А) = 1, фА + а2, фА +
Ь2 или ф^А + а2)(А + Ъ2), a fi(А) является рациональным многочленом от А,
в котором высшая степень имеет положительный коэффициент.
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
153
Уже было показано, что fi = 0, рассматриваемое как уравнение от Л + а2,
обладает вещественными корнями, лежащими между 0 и
а2 - с2. Отсюда все корни -fc = 0 тоже являются вещественными
(ЛЛ
и лежат в том же интервале. Следовательно, если Л + а2 возрастает
о о Ц/ г " /"
от а - с до сю, - имеет постоянный знак, а поэтому Е возрастает
всегда, т.к. /г(сю) = +оо. То же самое выполняется для обоих радикальных
множителей \/А + а2 и \/Х + Ь2, а отсюда и для любой возможной 9?(Л).
Поэтому в данном случае функция
Г = Г = ^(А)
всегда возрастает с А в промежутке а2 - с2 < А + а2 < сю, что означает
> 0.
d_(^L
d\\L2
Следовательно, с учётом (5) и (6),
- ( - ) < 0. d\\L2)
F
Соответственно при возрастании А отношение -| всегда убывает, а по-
скольку оно стремится к +0 при А -> сю, то это отношение должно всегда
быть положительным для конечного А + а2, большего, чем а2 - - с2. Таким
образом, имеем следующий результат (при т2 >0):
Если Li содержит л/А + с2 в качестве множителя, уравнение Fi = 0 не имеет
корней.
Заметим, что в случае а = Ъ присутствие радикала л/А + с2 означает, что т
является множителем в L, представленной в виде
L = (1 + T2)P/2Dp+n( 1 + т2)".
Но ясно, что L имеет т как множитель всякий раз, когда р + п нечётное,
отсюда, в случае сфероидов (т. к. здесь следует учитывать возможность,
что Fi = 0 имеет корень) функция L должна быть такой, что число р + п
чётное.
154
Глава VII
(II) Предположим, что Li не имеет %/А + с2 в качестве множителя.
Допустим, что п ^ 2, тогда для больших А имеем
\LlSl ~ *T+ILiSi = (Ь 2^+l)Л'1/2 > ° при Л < 00
и =0 при А = сю.
Поскольку Li = л/А + с2, при А + а2 = а2 - с2 имеем iiSi = 0, в то время
как по нашей гипотезе Д5) не сводится к нулю при А + с2 = 0. Но поскольку
уравнение Li = 0 не имеет корней больше либо равных а? - с2, произведение
ДД имеет один знак для всех значений А + + а2 > а2 - с2, и вблизи
бесконечности этот знак - плюс. Отсюда, при А + а2 = а2 - с2 имеем
UlS! - 7\ LiSi < 0.
3 2п + 1
Поэтому функция Fi меняет знак для некоторого конечного А + а2, большего,
чем а2 - с2, а число корней между а2 - с2 и сю (не считая сю в качестве
корня) должно быть нечётным. Сама бесконечность тоже является корнем. Но
ранее было доказано, что это уравнение может иметь максимум два конечных
корня, и поскольку теперь требуется нечётное их количество, то в
действительности конечный корень должен быть только один.
Отсюда, каждая Li для сфероидов, где р + п - чётное, даёт уравнение Fi =
0, имеющее единственный корень А + а2 > а2 - с2, т. е. для некоторого
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed