Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
положительного конечного значения А + с2 (пока не достигнут дискообразный
сфероид) коэффициент устойчивости, соответствующий каждой Li, для которой
р + п чётное, будет стремится к нулю и менять знак. Таким образом,
вековая неустойчивость появится на некотором этапе для каждой из
соответствующих гармонических деформаций.
Позже будет установлено, что та +*, для которой сфероид впервые
становится неустойчивым, равна +2 = 1+т2 и является гармонической
функцией второго порядка, соответствующей п = 2, р = 2. Но перед тем, как
показать это, рассмотрим оставшуюся возможную форму для Li.
(III) Предположение п = 1, так что Li = фА + а2 или л/\ + Ъ2.
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
155
Уже было показано (стр. 145), что смещения, соответствующие гармоническим
функциям первого порядка, состоят из малых переносов эллипсоида
параллельно осям координат. Для третьего из них, а именно для \JА + с2,
коэффициент устойчивости тождественно равен нулю, поэтому равновесие, как
уже объяснялось, безразлично к соответствующему смещению.
Что касается первых двух смещений, то, поскольку а > b > с, соотношения
\/Х + а2 Да + ь2
\/А + с2 %/А + с2
всегда убывают, когда А + а2 возрастает от а2 - с2 до сю, а их конечные
значения равны единице. Отсюда они всегда положительны, и уравнение (1),
соответственно, не имеет конечного корня, большего а2 - с2.
Следовательно, соответствующие коэффициенты устойчивости всегда
отрицательны.
Но, как уже отмечалось в главе VI, такие деформации исключаются, т. к.
они приводят к смещению центра тяжести с оси вращения, что означало бы
непрерывный общий перенос всей массы в пределах принятой системы отсчёта,
в то время как необходимо рассматривать только движение относительно
осей, фиксированных в центре тяжести1.
Что касается сфероидов Маклорена, то вышеописанные пункты
(I), (II) и (III) охватывают все возможные случаи. Перед тем как
двигаться дальше, для удобства подытожим результаты предыдущих разделов о
числе корней уравнения У)(А + а2) = 0, лежащих между а2 - с2 и сю.
(I) Если Li делится на л/А + с2: корня нет; ^L\Si - 2~р-jLiSi > О
справедливо всегда.
(II) Если Li не делится на л/А + с2, ап ^ 2: один конечный корень; i-LiSi
- 2га щ ^ LiSi сначала (т2 = сю) положительное, но потом, ниже
некоторой конечной т2, становится отрицательным.
(III) Если Ьг нельзя разделить на \/А + с2, а п = 1: корня нет;
коэффициент устойчивости всегда отрицателен. Но этот вид деформации
исключается, т. к. он смещает центр тяжести с оси вращения.
1 Именно поэтому весь подраздел (III) следовало бы сразу исключить и
ограничиться одним только этим напоминанием. - Прим. ред.
156
Глава VII
Напомним, что эти результаты выполняются вообще для всех а ^ Ъ > с, и
поэтому применимы в равной мере к исследованиям и ряда Маклорена, и ряда
Якоби. Для ряда Маклорена установим теперь следующий результат.
Первый обращающийся в нуль коэффициент соответствует L2
(р = 2).
По мере того как данная масса постепенно сплющивается из сферической
формы и "пробегает" ряд Маклорена, первым сводящимся к нулю
коэффициентом, как будет показано, является соответствующий следующему:
1*2 = (1 + t2)D4( 1 + т2)2, т.е.р = 2, п = 2 = 1 + т2, постоянный
множитель опущен.
Что касается Д, то здесь необходимо рассматривать только чётное р + п, т.
к. уже было доказано, что иначе корней быть не может. Поэтому мы хотим
показать, что корень т2 = к,2 (соответствующий сфероидальному члену ряда
Якоби) уравнения
\l1S1-±L2S2=0 (р = 2)
больше, чем корень т2 = fc* (поскольку т2 убывает от сю, когда сфероид
сплющивается), принадлежащий
{Ьгвг - = 0.
3 2п 4- 1
Для этого, как уже было видно, вполне достаточно доказательства
неравенства
UlSi - - \L*S*
3 2п +1 3 5
или того, что
|^-йГГТад>0'
Li
а это, как мы видели, равносильно доказательству, что - всегда воз-
L 2
растает с т2.
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена 157
Чтобы доказать это, необходимо рассмотреть три различные формы для Li,
охватывающие все случаи. Очень важно отметить, что мы вновь можем
установить необходимые условия; т. е. вышеописанное неравенство в
действительности строго выполняется, и мы можем использовать его в
доказательстве.
Случай (а). Положим р ф 2. Тогда
^ = (1 + T2)(p-2)/2_DP+n(1 + Т2)И) р + п чётное.
-^2
В данном выражении первый множитель (1 у г2)(р-2)/2 или сокращается, или
всегда возрастает с т2, в зависимости от того, р = 2 или р > 2. Вновь,
поскольку (1 + т2)(tm) есть многочлен по т2 с положительными коэффициентами,
а это также должно быть верным и для Dp+n{ 1 + т2)", то этот многочлен
является всегда возрастающей функцией от т2. Отсюда всегда возрастает,
таким образом, для Li данного типа коэф-
фициент устойчивости, соответствующий L%, должен обратиться в нуль
первым.
Случай (b). Положим р = 0. Тогда гг = 2j, где j - целое число, большее
либо равное единице (т. к .р + п обязательно чётное).
Здесь имеем
Ц _ _D2j (1 + t2)2j L2 1+т2
(Эта форма включает оставшуюся функцию Ламэ L = 1 + Зт2 второго порядка,
