Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
а" - Т а - с
Ряд Якоби удобно описывать в направлении возрастающего углового момента с
помощью величины а2 - Ь2, изменяющейся от 0 до а2 - с2. Ясно, что
значение а2 - Ь2 = 0 соответствует исходной сфероидальной форме, в то
время как а2 - Ъ2 = а2 - с2, т. е. Ъ = с, соответствует бесконечно
вытянутой конечной форме Якоби при а = оо, Ъ = с = О (табл. II, стр. 73).
Каждому значению а2 - Ь2 на этом промежутке будет соответствовать
определённая фигура Якоби, а следовательно, и определённое значение т (т.
к. А всегда равна нулю). Другими словами, для а2 - Ь2
данного -------- между 0 и 1 существует единственный
эллипсоид Якоби
а - с
и, следовательно, определённые значения отношений а : b : с (или самих а,
Ъ и с, если мы предположим, что abc = 1). Полуоси эллипсоида, выраженные
через т, будут такими
л/ т2 + 1л/ а2 - с2,
с = тл/ а2 - с2,
так что
а : Ъ: с = \Jт2 + 1 : л /т2 + 1 - ^\ : т.
а? - с2
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби 165
1. Условие для эллипсоида Якоби
Это условие уже было найдено из общих положений в главе IV (стр. 68), но
его можно вывести в более удобной для нас форме следующим образом.
Предположим, у нас есть фигура равновесия Якоби Е и задан бесконечно
малый её поворот на угол в вокруг оси z, так что по отношению к осям Е мы
будем иметь новый эллипсоид Е' тех же размеров и той же формы, что и Е.
Если расстояние по перпендикуляру от точек Е' до Е обозначить через ?,
легко показать, что
где М2 N2 - одна из пяти поверхностных гармонических функций второго
порядка, заданных в виде
М2 = Дд + аДд+ 62), N2 = \/{у + а2){у + Ь2).
Очевидно, равновесие должно быть безразличным к смещению данного типа,
поскольку Е' является просто формой Якоби относительно других осей.
Поэтому соответствующий коэффициент устойчивости должен исчезнуть, т. е.
- \l2S2 = 0 (Л = 0). (1)
Следовательно, это и должно быть условием для эллипсоида Якоби1. Легко
проверить, что оно эквивалентно условию, полученному ранее в главе IV.
а2 - Ъ2
Из таблицы II следует, что для заданного значения ---------- меж-
а - с
ду 0 и 1 это уравнение имеет только одно вещественное решение, например,
т = j2.
Далее, если для конфигурации на последовательности Якоби b -> с,
отношения осей становятся равными а:6:с=1:0:0ит = 0. Соот-
q2 _ ^2
ветственно тогда -= т -> 1 и корень у2 -> О.2
а - с
1 Данное уравнение связывает между собой отношения полуосей в эллипсоиде
Якоби и впервые было получено Пуанкаре. - Прим. ред.
2 Речь идёт, разумеется, об иглообразной фигуре, конечной на
последовательности Якоби. - Прим. ред.
166
Глава VIII
2. Условие для точки бифуркации
Для существования точки бифуркации необходимо, чтобы в дополнение к
уравнению (1) равнялся нулю ещё один коэффициент устойчивости
5?А - ъТГГ'3' = °- <2>
Отсюда для точки бифуркации на последовательности Якоби одновременно
должно быть
= \b2S2 = (А = 0), (3)
где L\ = ДА + с2, Ь2 = у/(А + а2)(А + Ъ2).
Как уже было доказано (стр. 152), уравнение (2) не может иметь
вещественного корня, если Li делится на ДА + с2, если же Li нельзя
разделить на этот радикал, то данное уравнение имеет один вещественный
конечный корень. Допустим, Li нельзя разделить на ДА + с2, и обозначим
корень (2) через т = Д. Тогда для одновременного выполнения обоих
уравнений в (3) необходимо, чтобы
h = кг-
Теперь покажем, что для данного порядка п есть как минимум одна Li, при
которой решение (3) существует. Для этого рассмотрим ситуацию на обоих
концах промежутка а = Ъ и b = с.
(I) а = Ъ. Это условие лишь означает, что эллипсоид всегда находится на
последовательности Маклорена; т = оо соответствует сфере, а т = 0
бесконечно тонкому неограниченному диску. Корень т = j2 уравнения (1) с
учётом условия а = b даёт первый член ряда Якоби, а исчезновение любого
другого коэффициента устойчивости (на последовательности сфероидов), как
мы видели, происходит при значениях т, меньших, чем j2, т. е. для более
сжатых форм. Соответственно на этом конце промежутка имеем
j2 > ki при а=Ъ.
(II) Ъ = с. Как мы уже видели (стр. 105), в данном случае функция L{
задаётся в виде
U = (t2 - 1 )P/2Dp+n(t2 - 1)" (р = 0, 1, 2, ..., п),
где t2 = а ^ _ Также имеем
а -с /---------- /----
L\ = у А + с2 = у t2 - 1 = т.
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби
167
Отсюда, если р / 0, уравнение (2) выполняется при t = 1 или т = = 0,
поскольку тогда и L\, и Li обращаются в нуль независимо друг от друга.
Следовательно, в таких случаях корень fcj равен нулю, поэтому мы имеем
и t = 1 не является больше решением уравнения (2), поскольку Li не равно
нулю. Следовательно, решение для т не может быть теперь нулевым, а должно
иметь конечное положительное значение. В таком случае мы будем иметь
Отсюда для той особой функции Li данного порядка п, которая при b = = с
сводится к L-функции (для которой р = 0), уравнение j2 = fej
удовлетворяется один (а возможно, что и нечётное число) раз при некотором
конечном значении (или значениях) т. Также, когда b = с, существует
