Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 55

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 76 >> Следующая

немного меньше, а угловая скорость немного больше, чем у критического
эллипсоида Якоби. Однако если придать системе небольшое возмущение,
наличие внутренних сил трения приведёт к возрастанию нескольких амплитуд,
и система начнет постепенно отклоняться от грушевидной формы, чтобы в
конечном итоге принять ту форму Якоби, которая имеет такой же угловой
момент, как и первоначальная грушевидная конфигурация*44). Поэтому ясно,
что ни один начальный член грушевидного ряда естественным путём появиться
не может. Пока Н постепенно возрастает, масса будет развиваться
(эволюционировать, Б. К.) вдоль ряда Якоби до точки С, а затем, при
дальнейшем возрастании момента, единственной доступной для системы формой
равновесия будет эллипсоид Якоби, который на данном этапе обладает уже
вековой неустойчивостью.
Дальнейшее развитие (направление эволюции, Б. К.) массы будет зависеть от
того, обладают эти эллипсоиды обыкновенной устойчивостью, или нет. Если
они обыкновенно устойчивы, то это значило бы, что любое небольшое
возмущение возрастало со скоростью, зависящей только от величины сил
трения, а это ещё не привело бы к резкому отклонению. Примером может
служить лунная орбита, которая обладает вековой неустойчивостью, но
является обыкновенно устойчивой, и скорость её отклонения от настоящего
расположения является незначительной из-за малости приливного трения. С
другой стороны, если эллипсоиды Якоби за точкой бифуркации обыкновенно
неустойчивы (фактически, как будет видно, так оно и есть), то
экспоненциальные множители, указывающие на неустойчивость, не зависят от
трения и не обращаются в нуль вместе с ним. Соответственно они могут
включать в себя1 динамические отклонения от формы Якоби, возникающие при
ускорении, сравнимом с любым другим ускорением системы. Исследование
обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби является предметом следующей
главы.
1 Вместо "включать в себя" (involve) лучше сказать "выражать". - Прим.
ред.
Глава IX
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов
Якоби
Чтобы исследовать обыкновенную устойчивость, необходимо установить
уравнения малого движения жидкости и рассмотреть условия, при которых
решения будут чисто периодическими, или же таковыми не будут.
1. Общие уравнения малого движения вращающейся жидкости
Возьмём прямоугольные оси Ох, Оу, Oz и предположим, что они вращаются
вокруг Oz с угловой скоростью ш, которую можно рассматривать как
постоянную, т. к. мы хотим исследовать малое движение относительно
равновесной конфигурации, имеющей эту угловую скорость со. В таком
случае, составляющих скорости и, v, w, относящихся к этим осям, вполне
достаточно, чтобы иметь дело с любым малым отклонением.
По отношению к осям, совпадающим с мгновенным положением движущихся осей,
составляющие ускорения суть
Du г, 2 Dv , г, 2 Dw - -2 cov-cox, -+2 ши-шу, -,
где
D _ д , д , д , д Dt ~ dt дх ду dz'
При малых движениях квадратами и произведениями величин и, v, w, а также
их производными пренебрегают, тогда составляющие ускорения упрощаются до
ди г, 2 dv . г, 2 dw
- ~2wv-wx, -+2wu-wy,
dt dt dt
182
Глава IX
Следовательно, уравнениями малого движения являются
ди 0 2 _ dtp 1 др
dt WV Ш Х дх Рдх'
dv , 0 2 _ dip 1 dp
dt У ду Pdy1
dw
dt
dip i dp ~dz ~ P~th'
где p обозначает давление, a ip - гравитационный потенциал жидкой массы.
Любые внешние силы, за исключением силы притяжения, отсутствуют.
Плотность всюду предполагается однородной, так что записывая
х=^-р- \ш2(х2 +
видим, что эти уравнения принимают вид1
du 0 дх
dv . 0 _ дх
т+2ши-^'
dw = дх
dt dz'
(1)
Кроме того, у нас есть при однородной плотности уравнение неразрывности
(2)
du , dv : dw_ _ q дх dy dz ~ '
В любой конфигурации равновесия, относящейся к вращающейся системе
координат, и, v, w являются нулевыми, отсюда
дх = дх = дх = п
dx dy dz
Таким образом,
_ г 1 2/ 2 , 2\
X = р - Р - 2Ш (х +V ) = Хо,
(3)
1 Уравнения (1) впервые получил А. Пуанкаре. - Прим. ред.
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
183
где, и это главное, хо не зависит от пространственных координат. Но Хо
должно быть независимым ещё и от времени, т.к. в естественной1
конфигурации равновесия р и ip зависят только от пространственных
координат х, у, z.
Теперь, если допустить, что существует некоторая конфигурация равновесия
системы, то поскольку целью является переход к линейным уравнениям,
необходимо рассмотреть движения, при которых максимальное смещение любого
данного элемента жидкости от своего среднего положения является величиной
первого порядка малости. Результирующая неравновесная конфигурация в
любой момент будет рассматриваться как возмущённая и будет отличаться в
размерах от конфигурации равновесия только величинами первого порядка
малости. Рассматривая обычным методом такие движения с целью изучения их
устойчивости, при построении соответствующих уравнений предполагается,
что каждый элемент жидкости совершает колебания около среднего положения,
причём по найденным периодам выясняется, будет ли такое движение
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed