Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
где Lr обозначает рациональный многочлен, а последние три формы опять
исключаются из-за присутствия радикалов %/А + Ь2 или (по отдельности или
обоих сразу) в качестве множителей. Остается только тип \/Х + a?Lr, и
поскольку теперь кц = А, К2 = кд = 0, существует всего А(гг + 1) = ш + 1
таких функций. Однако снова только у одной из них все нули меньше, чем а?
- Ь2, а именно у той, для которой г = ш + 1 = А (гг + 1). Отсюда в любом
случае, как при чётном,
так и при нечётном гг, только один коэффициент устойчивости (всего их
2п+1 данного порядка п) может обратиться в нуль. Именно он и был назван
характеристическим коэффициентом устойчивости порядка п.
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби
171
Само по себе это не значит, что характеристический коэффициент
действительно не обращается в нуль при некотором а : b : с, но теперь1
этот результат следует из полученного ранее заключения на стр. 167. Там
было показано, что имеется только одна функция Li (всего их 2п + 1), для
которой удовлетворяется j2 = fc*, т. е. для неё соответствующий
коэффициент устойчивости обращается в нуль. Это, вместе с результатом
данного раздела, окончательно доказывает, что для любого данного порядка
лишь характеристический коэффициент устойчивости может обратиться в нуль,
и это происходит для некоторой конечной2 фигуры Якоби.
Доказательство на стр. 154 того, что уравнение3
5?А - 2TTT?-s- = 0 <2>
имеет только один конечный корень, применимо и в данном случае. Теперь
первоначальная (сфероидальная) форма Якоби имеет а : Ь : с = = 1,197 :
1,197 : 0,698, а потому т2 = 0,515. Финальная форма Якоби имеет а:6:с =
оо:0:0, а отсюда т2 = 0. Для промежуточных значений т2 отношение а : b
определено однозначно, если отношение а : с установлено (табл. II, стр.
73), так что уравнение (2) есть просто уравнение для а : с. Но в главе
VII (154) было показано, что уравнение (2) имеет единственный конечный
корень. Соответственно когда последовательность Якоби описывается в
направлении возрастания углового момента, каждый характеристический
коэффициент устойчивости меняет, но только один раз, знак. Если
допускаются только смещения данного порядка п, то в итоге масса
приобретает вековую неустойчивость при некотором конечном значении а : Ъ
: с и с этого времени таковой и остаётся.
Можно доказать (см. ниже), что сначала неустойчивость проявляется через
характеристическую гармоническую деформацию третьего порядка, и что при
дальнейшем описании ряда неустойчивость возникает последовательно через
характеристические гармонические функции четвертого, пятого, шестого и т.
д порядков. Если обозначить характеристический коэффициент для данного
порядка п через Сп, то можно доказать, что эти коэффициенты обращаются в
нуль последовательно.
1В оригинале нечёткое выражение мысли, и вместо "теперь" (now) лучше
сказать: как мы знаем... - Прим. ред.
2 Вместо "конечной" (finite) лучше сказать: промежуточной. - Прим. ред.
3Эта формула даётся выше под тем же номером, так что нарушения нумерации
в данной главе нет. - Прим. ред.
172
Глава VIII
Если п > р, то Сп > Ср.
Если Сп = 0, имеем
Сп = - 2^rjLnSn = О (Л = О),
где Ln обозначает функцию Ламэ, соответствующую характеристическому
коэффициенту устойчивости порядка п. Для подтверждения этого результата
достаточно показать, что М, где п > р, возрастает всег-
L/p
да, когда А + а2 возрастает от а2 - с2 до оо. И если это так, тогда
А(Мл > о,
d\\L2)
Р
а отсюда ( глава VII, стр. 149)
d)2p+lLpSp 2n + lLnSn
п (5)
L/p
С учётом введенных выше Ср и Cm имеем
d j (Г" - Ср) 1 dX\ L% J<U-
Здесь L2 положительна, а поскольку
с"-с^(^ТТ-йГы)л_1/^+0
(при п > р и А -> оо), это значит, что и Сп - Ср всегда положительна.
Следовательно, сначала должен исчезнуть Ср.
Чтобы показать, что Ll всегда возрастает, рассмотрим следующие три
случая. р
(I) Положим а = Ъ.
Поскольку все корни L-функции, дающей характеристический коэффициент
устойчивости по А + а2, лежат между 0 и в2-62, то когда а становится
равной Ь, все они должны совпасть при А + а2 = 0. Отсюда имеем
п чётное Ln = (а2 + А)"/2,
п нечётное Ln = л/а2 + А... (а2 + А)^"-1^2 = (а2 + А)"/2 также.
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби 173
Следовательно,
^ = {а2 + Х){п~р)/2,
L/p
и, поскольку п > р, это отношение возрастает всегда, когда А + а2
увеличивается от а2 - с2 до оо.
(II) Положим Ъ = с.
В данном случае, как мы видели, Ln = Dn(t2 - 1)(tm), отсюда
_ Dn(t2 - 1)"
Lp ~ Dp(t2 - 1 )p '
a2 4- Л
и когда Л возрастает, t2 = увеличивается от 1 до оо. Для
до-
а - с
казательства возрастания сделаем замену t = 1 + 2х и, опуская
L/p
положительные множители, получим
Ln Dnxn(x +1)"
(6)
Lp Dpxp(x + l)p При x = 0 это выражение имеет значение ^4 и легко
показать, что
р\
p\Dnxn(x + 1)" - n\Dpxp(x + If
при п > р содержит только члены с положительными коэффициентами, поэтому
всегда возрастает с х{> 0). Следовательно, также ведёт себя
и
L/p
(III) Предполагаем, что Ь произвольно и находится между а и с. Если
