Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
полученную из И2(1 +т2)2. Вторая функция L = т+Т+т2 содержит т как
множитель, и её соответствующий коэффициент устойчивости не может быть
равным нулю.)
В данном случае всегда положительная, поскольку таковы
и числитель, и знаменатель. Поэтому если можно показать, что ее
дифференциальный коэффициент всегда положительный, то функция всегда
возрастает с т. Логарифмический дифференциальный коэффициент является
следующим1:
D2j+1{t2 + 1)2j 2т
D2i (т2 + l)2j т2 + 1'
1В оригинале в знаменателе первого члена стояло l)Zj (г + 1)2+ - Прим.
ред.
158
Глава VII
а то, что мы хотим показать, равносильно доказательству
Е{т) = (т2 + 1 )D2j+1(T2 + l)2i - 2тП2Дт2 + l)2j > 0.
Теперь1
к
так что
D2\t2 + I)21 = y,
к
_______2j!2fc!__________ 2k-2j _ ST' Л
kl(2j - k)l(2k - 2j)\ \ k
(k=j,j + 1, ..., 2j),
и видно, что все коэффициенты Ак существенно положительны. Таким образом,
мы имеем
Покажем, что у этого многочлена от т все коэффициенты положительны.
Коэффициент при т2к~2з+1 оказывается следующим:
Поскольку Ак > 0 и к ^ j, единственным из этих коэффициентов, который
может быть отрицательным, является тот, для которого к = = j, а именно -
2Aj + 2Aj+±, поскольку для к > j все множители, на которые умножаются Ак
и Ak+i, положительны. Но этот коэффициент тоже будет положительным, если
Иу-щ > Aj. Действительно,
Е{т) = (т2 + 1) Y, Ак (2к - 2j)T2k~2j~1 - 2т ^ Акт2к~2*.
(2 к - 2 j - 2 )Ак + (2 к - 2 j + 2')Ак+\.
(j + l)!(j - 1)!2! ./'!./'! '
2j!(2j + 2)! > 2j\2j\
т. е.
(2j + 2)(2j + l) > ^jД
ИЛИ
№з +1) > 1,
и поскольку j ^ 1, данное неравенство строго выполняется.
1 Здесь и ниже под 2j\ следует понимать (2j)!. - Прим. ред.
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
159
Таким образом, все коэффициенты в Е(т) положительны, поэто-
по последовательности сфероидов коэффициент устойчивости, соответствующий
L2 = 1 + т2, исчезает раньше других, соответствующих Li данного типа.
Случай (с). И, наконец, имеем р = 1, п = 2j +1 (т. к .р + п чётное).
Необходимо отметить, что j ^ 1, поскольку j = 0 соответствовало бы
гармонической функции первого порядка, а их мы уже исключили.
В данном случае
Это отношение будет всегда монотонно возрастающей функцией от т, если ее
логарифмический дифференциальный коэффициент является положительным, т.
е. выражение
^ = (1+т2)1/2^+2(1 + т2)2№
а отсюда
Li 02j+2(l + r2)2j+1
L2 (1+т2)1/2
T2k-2j-2 =
= Y BkT2k~2i~2 (k = j + 1, j + 2, ..., 2j + 1),
,2k -2 j -2
k
и здесь все коэффициенты Вр положительны. Отсюда
Е(т) = (т2 +1) Y(2k ~ ~ 2)Bkr
,2k-2j-3
т Y Вк7"
,2k-2j-2
160
Глава VII
и в данном случае коэффициентом при т2к 1 является
(2к - 2j - 3)Вк + (2к - 2j)Bk+1.
Это выражение может быть отрицательным при 2к < 2j + 3, т. е. если к = j
+ 1, причем тогда оно сводится к 2Bj+2 - Д+i- Но и этот коэффициент будет
положительным, если
2.(2j + l)!(2j +4)! (2j + l)!(2j + 2)!
U + 2)! (j - 1)!2! (j + m '
(2j + 4)(2j + 3) j
J + 2 j'
ИЛИ
2j(2j + 3) > 1,
что строго выполняется даже при j = 1.
Отсюда следует, что коэффициент устойчивости, соответствующий L2 = 1 +
т2, исчезает раньше всех других данного вида.
Объединяя эти три случая вместе, можно сделать вывод, что при убывании т2
от сю первым коэффициентом устойчивости, стремящимся к нулю, является
коэффициент, связанный с функцией Ламэ L2 = а2 + + Л второго порядка.
Поэтому вековая устойчивость ряда Маклорена теряется в этой точке. Однако
необходимо напомнить, что настоящий результат был получен при
рассмотрении функции W - что соответствует устойчивости относительно
системы координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Поскольку
гармонические функции, связанные с этой L2, являются многочленами второго
порядка вида х2 - у2 и ху, допустимо, чтобы в результате соответствующих
деформаций поверхности oj изменялась в первом порядке малости1. Поэтому
необходимо доказать, что неустойчивость, проявляющая себя здесь, является
истинной неустойчивостью (см. стр. 50).
Что касается ху, то легко показать, что деформация 4, включа-
ш
ющая поверхностную гармоническую функцию MN, к которой ху сво-
1 Деформация смешанной гармоникой ху приводит только к повороту вокруг
оси z. Поэтому она заведомо никак не может отразиться на осесимметричной
фигуре сфероида Маклорена. - Прим. ред.
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
161
дится на эллипсоиде, в первом порядке не повлияет на момент инерции I.
Действительно, как мы уже видели (стр. 135), приращением первого порядка
для I является
что на поверхности х2 + у2 можно выразить через пространственные
гармонические функции вида
где h, к и I - постоянные. Соответственно поскольку ху является
гармонической функцией, не зависящей от них, то интеграл, представляющий
5\1, исчезает. Таким образом, I меняется только во втором порядке
малости, а неустойчивость, на которую указывает исчезновение коэффициента
устойчивости, связанного с ху, должна быть истинной.
С другой стороны, поверхностная деформация, соответствующая х2 - у2, даёт
