Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
в 5\1 член вида
поэтому момент инерции изменяется уже в первом порядке. Но поверхностные
гармонические функции, соответствующие х2 - у2 и у2 - z2, являются как
раз теми, которые входят в ограниченные эллипсоидальные смещения,
рассмотренные в главе IV (стр. 79). Нетрудно убедиться, что нормальное
гармоническое смещение ?, деформирующее исходный эллипсоид
в другой, слегка отличный от данного,
где р, q, г - малые постоянные, которые исчезают, если исчезают 5а, 5Ъ,
5с. Поэтому здесь можно привести доказательство, данное в главе IV,
Е
h(x2 - у2) + к(у2 - z2) + I,
/
(,а + 5а)Л (Ъ + 5Ъу (с + 5с)Л
(причём, 5(аЬс) = 0), задаётся следующим образом:
162
Глава VII
которое основано на функции W + применимой к системе с изменяющейся
угловой скоростью, чтобы показать, что неустойчивость, соответствующая ж2
- у2, тоже является истинной.
Итак, можно сделать вывод, что сфероид Маклорена обладает вековой, а
следовательно, и обыкновенной устойчивостью при всех деформациях (которые
могут быть представлены разложениями эллипсоидальных поверхностных
гармонических функций), если его эксцентриситет меридионального сечения
меньше, чем у сфероида бифуркации, т. е. при е < 0,8127. При значениях,
превышающих данное, этот сфероид обладает вековой неустойчивостью.
Вопрос о его обыкновенной устойчивости, который, конечно, нельзя
разрешить данным путём, был изучен Картаном (Cartan), показавшим, что
сфероидальная форма остаётся обыкновенным образом устойчивой при всех
возможных малых колебаниях (которые могут быть представлены
эллипсоидальными поверхностными гармоническими функциями) при условии,
что эксцентриситет сечения сфероида меньше, чем 0,9529.1
Однако с практической точки зрения сфероиды, неустойчивые вековым
образом, не представляют большого интереса, поскольку, если рассматривать
массу, подвергающуюся развитию вследствие постепенного возрастания
углового момента2, то при значении момента большего, чем соответствующий
первой точке бифуркации, масса уже продолжала бы развиваться вдоль ряда
Якоби, который (как мы увидим в следующей главе) сначала является вполне
устойчивым. В связи с этим, отклонение от осевой симметрии может быть
вызвано неопределённым (малым) внешним возмущением, которое, в свою
очередь, можно всегда рассматривать как действующее в реальных физических
системах3.
3. Сфероиды Маклорена за первой формой бифуркации
Если ряд сфероидов продолжается за точку, в которой ответвляется ряд
Якоби, и сфероиды подвергаются гармоническим деформаци-
1См., однако, примечание на стр. 84. - Прим. ред.
2Жаргон. Точнее: если рассматривать массу вдоль линейного ряда фигур
равновесия. - Прим. ред.
3 Автор хочет здесь сказать (но выражает свою мысль расплывчато и
нечётко), что в действительности в природе из множества всех типов
бифуркаций реализуется только та, которая связана с превращением сфероида
Маклорена в эллипсоид Якоби. - Прим. ред.
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
163
ям данного порядка п, то можно доказать, что первый коэффициент
устойчивости, стремящийся к нулю, всегда соответствует высшему значению
показателя р, т. е. р = п. Другими словами, первым равным нулю
коэффициентом устойчивости является тот, который соответствует функции
Ламэ
L= (1 + т2)"/2.
Далее можно доказать, что коэффициенты устойчивости, соответствующие р =
п - 2,р = п - 4,..., последовательно становятся равными нулю, когда ряд
продолжается в направлении возрастающих эксцентриситета и углового
момента. Но условие, при котором все такие неустойчивости данного порядка
п достигаются раньше появления первого из коэффициентов, образованного из
гармонических функций высших порядков n + l, тг + 2, ..., не выполняется.
Однако поскольку все подобные конфигурации уже обладают вековой
неустойчивостью при смещениях, соответствующих L (п = 2, р = 2), они не
имеют физического применения и не могут появиться в результате
естественной эволюции жидкой массы. Если бы система обладала количеством
углового момента, отвечающим условиям (равновесия) любой такой
сфероидальной формы, то через внутреннее трение она пришла бы к
соответствующей конфигурации равновесия на последовательности Якоби при
условии, что такая конфигурация с заданным угловым моментом сама обладает
вековой устойчивостью1. Теперь перейдём к рассмотрению вековой
устойчивости эллипсоидальных форм.
1 Первое предложение этого абзаца выражает лишь повтор сказанного на
преды-дущей странице (см. там сноску). Второе же предложение вообще не
имеет никакого смысла. - Прим. ред.
Глава VIII
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби
Целью данной главы является нахождение форм бифуркации на
последовательности Якоби. С практической точки зрения главное здесь то,
что первый коэффициент устойчивости, который обращается в нуль,
соответствует определённой гармонике третьего порядка.
Теперь мы имеем дело с общим случаем а > b > с. Как обычно, запишем
А Тс2 2 " Ат а2 2
= т , так что ------------------- = т Т 1.
