Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
оставаться малым. Таким образом, если xq1 уо, zq - среднее положение
элемента жидкости, который в момент времени t имеет положение х, у, z, то
мы полагаем
х - хо = Re(?e*At),
< у-уо = Re(r/elXt), (4)
. z-z0 = Re((etXt), где Re обозначает вещественную часть функций (г = ф-
1). В соответствии с обычным способом нахождения малых колебаний, период
А
связанный с движением, является одинаковым для любой частицы жидкости.
(Не путать данную Л с той, которая относится к эллипсоидальным
координатам.)2 Величины ?, г/, ? будут функциями положения, а т. к. х -
Xq и др. малы, то последние должны быть модулями этих функций. Поэтому
для данной степени точности не существенно, рассматриваются они ( ф г), ?
Б. К.) как функции xq, уо, zq или же х, у, z. Согласно (4), в общем
случае они будут включать комплексные коэффициенты, принадлежащие
множителю elXt и, отбросив знак Re, условимся, что вещественные части
дают соответствующие смещения.
1В оригинале "in a natural". По смыслу лучше сказать: в стационарной. -
Прим. ред.
2 Здесь Л - частота малых колебаний возмущённой конфигурации (и каждой
частицы) относительно положения равновесия. - Прим. ред.
184
Глава IX
Какую бы форму эти величины г], ? ни принимали, следует ожидать, как и в
обычных динамических примерах с малыми колебаниями, что они будут иметь
один или несколько неопределённых (бесконечно малых) множителей, которые
выражают, как и раньше, амплитуды колебаний. Если этот множитель (или
множители) уменьшаются до нуля, колебания не возникают, поскольку
последние линейным образом умножаются на входящие сюда амплитуды. Таким
образом, (xq, г/о, zo) должны в действительности описывать положение
элемента в равновесной конфигурации, и, соответственно, в рассматриваемом
движении каждый элемент совершает гармонические колебания (если Л -
вещественное) около своего допустимого положения равновесия.
Следовательно, жо, г/о ¦> zo относятся к конфигурации равновесия1.
Для такого движения с точностью до первого порядка уравнения (4) дают
Данные уравнения показывают, что если у содержит t в какой-либо
нах х, у или z. Но любые члены, не содержащие х, у, z, можно опустить,
т.к. только дифференцирование х по координатам даёт уравнения движения.
Таким образом, можно записать
где ф опять может иметь комплексные коэффициенты, а вещественная часть
выражения с правой стороны даёт у, удовлетворяющую услови-
1 Литтлтон одну и ту же мысль о роли (жо, уо, zo) повторяет здесь
несколько раз
подряд. - Прим. ред.
в уравнения (1), то для малых движений этого вида имеем
= (А2? + 2ш\г])еш,
< Щ = (А2?? - 2го/А?)еш, (5')
(50
форме, отличной от elXt, то это t (заведомо) не может быть в чле-
X = Де{^(ж, у, z)elXt] + (у0),
(40
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
185
ям движения. Итак, если колебание исчезает, % следует заменить на усь а
поэтому ф должна сводиться к нулю.
Теперь уравнения (5') с учётом уравнения неразрывности принимают
следующий вид:
Как видим, малые колебания вращающейся жидкости в общем случае зависят от
этих четырёх дифференциальных уравнений в частных производных. Вид
функций ?, rj, ? и ф, как это часто бывает, будет зависеть от граничных
условий той задачи, к которой применяются данные уравнения.
Как уже упоминалось, выражения, описывающие движения, содержат (как и для
систем с конечным числом степеней свободы) одну или более независимых
произвольных бесконечно малых постоянных (определяющих общую амплитуду
движения, через которую выражаются все остальные постоянные), и которые
могли бы быть выражены (друг через друга, Б. К.) линейно для каждой
отдельной А, так что если эта постоянная обратится в нуль, то должны
исчезнуть и все остальные1. Как видно, уравнения (системы (5), Б. К.)
должны удовлетворяться при ? = 1] = ? = ф = 0, и если ?, щ ф ф есть их
решение, то при произвольной малой постоянной к решениями являются и fc?,
krj7 /сф кф. Как и для конечных динамических систем, уравнение,
определяющее периоды или Л, получается путём исключения всех постоянных,
связанных с различными амплитудами колебаний.
2. Условие на поверхности эллипсоидальной конфигурации
Если жидкость ограничена свободной поверхностью, как в рассматриваемой
далее задаче, то на поверхности, какой бы она ни бы-
1 Часть этого длинного предложения заключена в скобки, чтобы можно было
понять мысль автора. - Прим. ред.
-- = А2? -I- '2ih)\n.
(5)
^ дх ду dz
dz '
д?, dri д(
= 0.
186
Глава IX
ла, р = 0. Следовательно, из уравнения (3) значение х на поверхности
будет таким:
где I, то, п - направляющие косинусы внешней нормали к равновесной
поверхности. Полный объем слоя всегда равен нулю, так что в местах, где
исходная поверхность опускается, плотность слоя должна рассматриваться
как отрицательная. Поскольку РРо является бесконечно малой величиной
первого порядка, вклад в потенциал от колонки PN можно вычислять так, как
если бы вся масса находилась в Ро, поскольку это даёт ошибку только
