Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
поверхность эллипсоида, а вот её градиент терпит раз-
dV
рыв. Чтобы в этом убедиться, вычислим -с обеих сторон поверхнос-
Дополнительные свойства функций Ламэ
133
ти. В точках снаружи внешнее дифференцирование даёт
(= у аЬ(0)МдЩ . ^ =
V дп) о ^ du dX дп
\ л ~ т (с\\ of Д/Г at 1
(f)0=s"L(oiMjv
= ~Y^ aL(0)S'MN ¦ ХдЖаЪс = -2 ^ aL(0)S'(0)MN
(на поверхности Л = 0), где штрихи обозначают дифференцирование по и. Во
внутренних точках дифференцирование аналогично даёт
Если рассматривать V как гравитационный потенциал поверхностного слоя
вещества с заданной поверхностной плотностью <т(д, и), то при пересечении
этой поверхности V должна быть непрерывной, а её градиент в общем случае
претерпевает разрыв. Действительно, по теореме Гаусса, поток, выходящий
из плоского элементарного цилиндра с торцевыми сторонами, параллельными
данной поверхности, будет равен
где гравитационная постоянная принята равной единице. Далее мы полагаем,
что V является потенциалом во всем пространстве от слоя единичной
объёмной плотности и переменной поверхностной плотностью, равной
бесконечно малой нормальной толщине слоя ?. Тогда мы получим
соответствующее уравнение
Таким образом, если дана потенциальная функция V вышеописанного вида,
толщина соответствующего ей поверхностного распределения равна
Шг = "^а5(0)Х'(0)МЖ
4тД = 2 a{L(0)S'(0) - L'(0)5(0)}МN,
а поскольку L и S определены так, что
LS1 -L'S = 2п + 1,
где п - порядок функции L, то в конечном итоге получаем 47г^ = 2 а(2п + 1
)MN.
134
Глава VI
Если, наоборот, даны поверхностное распределение единичной плотности и
толщина слоя ?
тогда потенциал во всех точках пространства сразу можно записать как
6. Формула Лиувилля
Теперь мы можем установить одно важное соотношение, которое потребуется
впоследствии.
Если дано поверхностное распределение
то его потенциал в произвольной точке Р пространства можно записать в
виде, представленном ниже. Действительно, если Q обозначает расстояние от
элемента dS до Р, то
что должно равняться одному из выражений (6) в зависимости от того, где
находится Р - снаружи или внутри поверхности. Однако, поскольку Pi можно
рассматривать как произвольные постоянные, мы можем предположить, что все
они, за исключением одной, равны нулю, и равенство двух выражений для
потенциала даёт
? = u}'520iMi;Nit
V(снаружи) = 2n + lLi^SiMiNil
(6)
V(внутри) = Y 2nd-1
а потенциал на поверхности будет равен
Е
J
Е
Дополнительные свойства функций Ламэ
135
если Р снаружи эллипсоида, и
Jj uMNQ-ldS = -S(0)LMN,
Е
если Р внутри.
Теперь, если допустить, что Р становится точкой Pq поверхности Л = О,
данное отношение сводится к формуле Лиувилля
Jj UjMNQ-1 dS = 2^jL(0)S(0)MN,
E
где Q теперь обозначает расстояние от dS до точки Pq самой поверхности.
7. Использование постоянной угловой скорости для свободно вращающейся
массы при рассмотрении устойчивости
Вернемся к вопросу, поднятому в главе II (стр. 51) и покажем, как для
определённых возмущений или деформаций свободно вращающейся
эллипсоидальной жидкой массы можно изучить устойчивость при постоянной
lo. Для этого необходимо составить уравнения в системе отсчёта,
вращающейся с постоянной и>, равной её значению для конфигурации
равновесия.
Рассмотрим поверхностное распределение (малой) толщины ?, измеренной по
нормали к поверхности эллипсоида (эту толщину ? можно рассматривать и как
положительную, и как отрицательную). В случае, который нас
больше всего интересует, 4 является
ш
сферической гармонической функцией третьего порядка. Изменение в моменте
инерции системы, 51, можно найти просто путём вычисления момента инерции
поверхностного слоя, а именно
€
51 = J J(P + h cos ip)2 dhdS,
E 0
Рис. 14
136 Глава VI
где р - расстояние от элемента dS поверхности эллипсоида (Е) до оси
вращения Oz, h - возвышение над поверхностью элемента объёма dhdS, &(р -
угол между направлением оси р и нормалью к dS. Таким образом,
€
51 = J J(р2 + 2phcos<р + h2 cos2 ф) dhdS =
E 0
= J(p2^ + p^2 cos (p + cos2 ip) dS.
E
Очевидно, выражение p2 = x2 + у2 на поверхности эллипсоида может быть
представлено линейной суммой сферических функций второго порядка. Так, в
выражении вида
*2+у2+ч4+ё+4-1
VGT Ъ2 с2
можно выбрать в таким образом
2+0(i + ^ + ?b0'
что функция будет гармонической. В данном случае величину р2 можно
выразить через пространственные гармоники второго порядка, т. е. в виде
суммы ^ AiL-iAI-iNi, для каждого члена которой п = 2. Отсюда поскольку Л
на поверхности постоянная, эта сумма сводится к
?агМiNi. Соответственно j p2?dS = 0, т.к. подынтегральное выра-
Е
жение является произведением гармонических функций второго (и третьего)
порядка и множителя из. Таким образом, 51 содержит члены, включающие
только и более высокие показатели степени, следовательно, имеет второй
порядок малости, на что указывает запись
I = h + 52Е
Но поскольку полный угловой момент является постоянным 5{1из) = О, так
что
5из = -j5I,
то изменение в угловой скорости будет тоже второго порядка.
