Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
становится следующим:
Y.Y.A*Ak 2T+iLfc(0)5fc(0) J ^m^MkNkds.
г, к
Здесь в любом члене, для которого г Ф к, интеграл исчезает, а всё
выражение сводится к однократному суммированию
г
Таким образом, конечное выражение для приращения потенциальной энергии
принимает вид
и-U0 = J wMfNfdS. (11)
Е
Форма возмущённой свободной поверхности фиксируется посредством (малых)
коэффициентов Ai, которые соответствуют обобщённым координатам ^
обыкновенных динамических систем с конечным числом степеней свободы. Но
хотя здесь чисел Ai бесконечно много, среди них есть одно,
соответствующее каждой функции Ламэ, так что существует 2п +1 координат,
связанных с 2п +1 гармоническими поверхностными функциями MjTVj данного
порядка п. Тем самым, мы получили в данных координатах выражение U,
содержащее члены второго порядка. Члены первого порядка, конечно,
отсутствуют, поскольку деформации подвергалась равновесная конфигурация.
Каждой координате Ai здесь соответствует коэффициент устойчивости
4tt(|l151 - 2ГТТ^)а-о/"MiN?dS' (12)
Е
и в этом коэффициенте множитель 4тт f ujMfNf dS является положительным
независимо от отношений осей а : Ъ : с. Отсюда для того чтобы
Дополнительные свойства функций Ламэ
145
данные сфероидальная или эллипсоидальная фигуры стали фигурами
бифуркации, необходимо следующее: один или более таких коэффициентов
должны быть равны нулю при определённых отношениях осей. Таким образом,
вековая устойчивость зависит от уравнения
которое в силу Л = 0 представляет собой трансцендентное уравнение для
отношений полуосей а : Ъ : с. Исследование его возможных корней, вначале
при а = Ъ, а затем для эллипсоидов Якоби, составит содержание следующих
двух глав. Далее мы пренебрегаем положительными множителями и называем
коэффициентами устойчивости просто Е).
10. Поверхностные смещения, задаваемые гармониками
первого порядка
Напомним, что встречающаяся в коэффициентах устойчивости функция Ламэ Ь\
(до того, как Л приняла нулевое значение) равна VА + с2. Таким образом,
последний из трёх коэффициентов устойчивости, соответствующий п = 1,
всегда равен нулю. Причиной этого является то, что равновесие остаётся
неизменным при любом малом переносе эллипсоида как целого параллельно оси
вращения. Чтобы показать это, предположим, что 5с смещает эллипсоид
параллельно Oz, тогда уравнения свободной поверхности до и после смещения
будут иметь вид:
Если, как обычно, обозначить через ? смещение по нормали точки Р' на
второй из этих поверхностей от точки Р(х, у, z) исходной поверхности, то
координаты Р' будут равны
Ft =
lOl -
(13)
Она находится на второй поверхности, если
а-
1
2
2
1.
146
Глава VI
Сохранение членов только первого порядка даёт
t~ (х2 , У2 , z2\ z5c & -Г + 7Г
-¦a4 Ь4 с4 ' п2
Однако
х2 , У2 , z2 1
(полагая abc = 1), а отсюда
Ъ4
-.2
Но z - одна из трёх эллипсоидальных гармонических функций первого
порядка, и на поверхности эллипсоида
Z (X у/(ц + с2)(и + с2) = Mi(n)Ni(v)
следовательно, мы имеем
? = AljM-lN-l,
где координата А - малая величина, пропорциональная 5с.
Точно таким же образом малое смещение, параллельное Ох
или Оу, тоже приводит к значению 4, пропорциональному соответ-
ш
ствующей гармонической функции первого порядка. Конечно, такие деформации
приводят к смещению центра тяжести всей массы от оси вращения и должны
быть исключены, поскольку перенос фигуры в целом не влияет на
устойчивость её равновесия. Поэтому центр тяжести всегда можно считать
покоящимся на оси вращения.
Глава VII
Вековая устойчивость сфероидов Маклорена
Определение вековой устойчивости для всех малых смещений подразумевает
нахождение точек бифуркации на последовательности сфероидов Маклорена.
Можно рассматривать этот ряд как начинающийся от сферы, которая, как уже
было показано, является вполне устойчивой, и развивающийся затем в
направлении возрастания углового момента. Тогда обращение в нуль
коэффициента устойчивости требует
Рг = - ^jLiSi = 0 (Л = 0), (1)
а для сфероидов, поскольку а = 6, имеем
Li = (1 + T'2)P/'2Dp+n(l + т2)п (р = 0, 1, ..., п),
где
Теперь уравнение (1) включает только а и с (в действительности, их
отношение), т. к. Л взята равной нулю, но если рассматривать его как
уравнение для а2, ясно, что Л можно сохранить, а уравнение с таким же
успехом можно рассматривать для Л + а2. В последующем обсуждении окажется
более удобным следовать именно этим путём, т. е. не подставлять Л = 0, а
рассматривать Х+а2 как неизвестное в уравнении.
Необходимо отметить, что при а = Ъ, когда общее число эллипсоидальных
гармонических функций порядка п всё ещё (как и в общем случае) равно 2п +
1, существует только п + 1 разных функций L (и функций М). Однако каждой
из них соответствует по две разных функции N, а именно, cos рр и sin рр,
кроме случая р = 0, когда существует только одна функция, а именно, N =
1. Это и составляет все 2п + 1 гармонических функций, но (в задаче есть)
только п + 1 разных
148
Глава VII
коэффициентов устойчивости, т. к. они зависят лишь от L- и S'-функций.
