Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Р. Если Р находится на малом расстоянии h от точки Pi вдоль нормали к
поверхности равновесия, то с точностью до членов первого порядка малости
где д без введения ошибки первого порядка в V (Р) может быть вычислено в
точке Р или Р\.
Теперь, если dm и dm' любые два элемента массы, расположенные на
расстоянии Д, то после деформации потенциальная энергия, обусловленная
гравитацией, будет равна
а потенциальная энергия, обусловленная центробежной силой, суть
Здесь интегрирование распространяется на все элементы массы
деформированного тела, а знаки в обоих случаях взяты с учётом того, что
сила является градиентом потенциала, взятым со знаком минус1. Таким
образом, суммарный потенциал U задаётся выражением
Если обозначить через Uq значение U в невозмущённой конфигурации,
устойчивость будет зависеть от функции U - Uo- Чтобы выразить это
1 Обратим внимание на то, что в этой главе потенциал имеет знак, обратный
знаку V, принятому ранее в главе III. - Прим. ред.
(8)
V(P) = V0(Pi)+gh,
(9)
1
2
II
Д 1dmdm',
1
2
/
oj2r2 dm.
Д 1 dm dm' - to2
I
r2 dm.
Дополнительные свойства функций Ламэ
141
в подходящей форме, обозначим через drriE и dm!E элементы массы
первоначального эллипсоида, а через drriL и dmfL - элементы массы
поверхностного слоя. Поскольку общая масса и объём постоянны, мы всегда
имеем
Отсюда с данным подразделением общей массы, получаем следующие выражения:
где в каждом интеграле А обозначает расстояние между элементами
рассматриваемых масс. Но очевидно, что
1В этой формуле речь идёт отнюдь не о формальной замене dm на dmE + dmL
(и dm' на dm'E-\-dm'L) под знаком интеграла. В действительности же, знак
равенства в этой формуле имеет лишь чисто символическое значение. Автор
неявно подразделяет здесь всю область интегрирования на две: объём
невозмущённого эллипсоида и объём возмущающего слоя. Это важное
обстоятельство никак не поясняется в преобразованиях под знаком
интеграла, что может привести к недоразумению у внимательного читателя. В
русскоязычной литературе такие преобразования специально оговариваются. -
Прим. ред.
и
Д 1 drriE dm'E +
II
Д 1 drriE dm'L +
Д 1 dm'E drriE +
+ A 1 drriL dm'L + J1 / r2dmE+io2 / r2drriL
II
I
И
II
A 1 drriE dm'L =
II
A 1 dm'E dml
II
A 1dmEdmb,
и на основании уравнения (8)
2(U - Uq) = 2 JJ
A 1 dmE dmE +
II
A 1dmLdm'L+LU2 / r2dmb
I
142
Глава VI
Чтобы упростить это выражение, рассмотрим произвольный элемент площади dS
поверхности эллипсоида. Нормали на его границе образуют цилиндр с
основанием dS. Элемент объёма dml можно определить, если взять тонкий
слой этого цилиндра, ограниченный двумя параллельными dS плоскостями на
расстоянии h и h + dh. Тогда можно записать
dmL = dS dh, dm'L = dS' dhf,
a h и h' лежат между 0 и ? (принимающей положительные и отрицательные
значения), где сама ? является малой величиной. Таким образом, получаем
/ V dm ь = / Vq dm l + gh dm l =
= Vq j dml + j g dS j hdh = ^ j gS2 dS, о
что верно с точностью до малых величин второго порядка включительно.
Аналогично,
JJ Q~1dmiJdm'L= Jjjj Q~1dhdS dh'dS',
а т. к. ? и ?' - малые величины первого порядка, то Q можно принять за
расстояние между элементами dS и dS' поверхности эллипсоида, что не
влияет на точность расчётов в первом порядке. Итак,
С С'
JJ Q~1dmiJdm'L = JJ Q^dSdS' j dh j dhf = JJ Q^1^'dS dS'.
о о
В результате получаем выражение
2(U -U0) = J gi2 dS - JJ Q-1^' dS dS(10)
верное с точностью до членов второго порядка включительно1.
1 Первый член справа выражает возмущение энергии в фиксированном силовом
поле, второй же член выражает эффект самогравитации самого возмущающего
слоя. - Прим. ред.
Дополнительные свойства функций Ламэ 143
?
Теперь допустим, что -, являющаяся функцией точки на поверх-
U1
ности эллипсоида, может быть представлена бесконечным сходящимся рядом
вида
4 = $>ладад,
со
г
где Ai являются (бесконечно малыми) постоянными коэффициентами. Эти Ai
можно рассматривать как координаты динамической системы, но теперь их
число бесконечно. Таким образом, если (д, v) является точкой внутри dS, а
(д;, г/) является точкой внутри dS', имеем
г
с = еа^'м*е
г
где штрихи означают, что функции вычислены в (//, г/). Итак,
AiAkU2 Mi Ni MkNk,
г гфк
а отсюда
I gfdS = J2A2i I gZ2M?N?dS + 2 ЕЕ AiAk j дш2Mi Ni Mk Nk dS =
¦' ¦' гфк ¦'
f 2M?N?dS+lnL1S1Y,Yl AiAk f oj Мг N% Mk Nk dS.
^ гфк ^
принимая во внимание тот факт, что goo = и то, что это вы-
ражение является постоянным на поверхности и его можно вынести за знак
интеграла. Но каждый член во второй двойной сумме равен нулю в силу
ортогональности поверхностных гармоник, поэтому в итоге имеем
Подстановка значений ? и ?' во второй интеграл в правой части (10) даёт
Е АгАк /[ MiNiM'kN'k dS dS',
г, к
144
Глава VI
где суммирование проводится по всем г и к независимо от того, равны они
или нет. Но по формуле Лиувилля
J Q-^'M'^dS'= ^jLk(0)Sk(0)Mk^)Nk^),
где п - порядок функций Ламэ L&. Соответственно двойной интеграл
