Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Дополнительные свойства функций Ламэ
137
Теперь, рассматривая вековую устойчивость, мы имеем дело с ва-
м2
риацией второго порядка от функции W + . Малые первого порядка
отсутствуют, т. к. деформации получены для равновесной фигуры. Таким
образом, имеем выражение
5 (w+fr)= S2W ~Ш521=hw ~ ?421'
справедливое для малых второго порядка. Отсюда условия будут точно такими
же, как если бы мы приняли функцию W - 21 с ш за
постоянную.
Очевидно, то же самое будет выполняться и при изучении обыкновенной
устойчивости, если деформация, приводящая к колебаниям, выражается через
гармонические функции третьего (или более высокого) порядка. Поскольку
уравнения движения состоят из членов первого порядка малости, то любыми
дополнительными членами, которые могли бы появиться с учётом 6и> (и
которые, как мы видели, являются величинами уже второго порядка малости)
можно пренебречь. Таким образом, и в этом случае можно допустить
постоянную угловую скорость.
Следует заметить, что эти результаты будут также приложимы и для
некоторых гармонических деформаций второго порядка при том условии, что
они не повлияют на момент инерции в первом порядке малости.
8. Вычисление силы тяжести на поверхности эллипсоида
Далее мы установим важный результат: на поверхности равновесной
эллипсоидальной фигуры значение полной силы тяжести д в любой точке
обратно пропорционально длине перпендикуляра из центра к касательной
плоскости в этой точке, т. е. дш постоянна на поверхности.
Для доказательства имеем следующее: в точках, лежащих внутри эллипсоида,
полный механический потенциал (т. е. гравитационный плюс центробежный)
можно записать так:
U = -тг(ах2 + [Зу2 + 'yz2) + ^оэ2(х2 + у2) + const,
где а, (3, у определены уравнениями (4) главы IV, и для удобства мы взяли
Gp = 1, что вполне допустимо. Компонентами результирующей
138
Глава VI
силы тяжести внутри и на поверхности являются
dU dU dU дх ' ду' dz'
Но в равновесии g лежит вдоль внутренней нормали к эллипсоиду с
направляющими косинусами
LOX UJZ
а2 ' Ъ2 ' с2 '
Отсюда для третьей компоненты имеем
= ^'По-
следовательно, произведение дш постоянно и равно1
ОО
дсо = 2тгс2 ¦ abc [--------------- ^ (7)
J (с2 + Л) (а2 + \)(Ь2 + Л) (с2 + Л)
Этот результат можно выразить более кратко и в удобной форме через
функции Ламэ. Функция Ламэ первого порядка (п = 1), связанная с третьей
осью с эллипсоида
л/с2 + X = Ь1,
имеет соответствующую функцию S, заданную таким образом:
ОО
Si = у/(с2 + А I
MX
2 (с2 + А) л/ (а2 + А)(62 + А) (с2 + А)
Л
1Это так называемая теорема Кельвина: полное ускорение в любой точке на
поверхности равновесного однородного эллипсоида обратно пропорционально
длине перпендикуляра из из центра до касательной плоскости, проведенной к
испытуемой точке. В данном случае
-1/2
Дополнительные свойства функций Ламэ
139
Обе функции Li и S\ являются, конечно, функциями от Л, и на поверхности Л
= 0 мы сразу получаем
gui = ^7ra6cii(0)5i(0),
или, более кратко,
ди> = IttXiSi,
где надо помнить, что функции Ламэ должны вычисляться на поверхности
эллипсоида Л = 0, а произведение осей принимается за единицу, т. е. abc =
1.
9. Вычисление коэффициентов устойчивости эллипсоидальной конфигурации
Теперь мы можем вычислить изменение потенциальной (гравитационной и
центробежной) энергии вращающейся эллипсоидальной массы жидкости, когда
её свободная поверхность подвергается малой общей деформации.
Невозмущённая форма этой поверхности в эллипсоидальных координатах имеет
уравнение Л = 0, а любая её точка имеет координаты (д, v). Заданное
движение является простым поворотом вокруг оси Oz. Предположим, что
поверхность подвергается бесконечно малому непрерывному смещению без
изменения полного объёма фигуры. Обозначим через ? расстояние от точки
первоначальной эллипсоидальной поверхности до поверхности
деформированной, измеренное вдоль нормали к эллипсоиду, а через д, как и
раньше, - суммарную силу в точке (д, v), обусловленную гравитацией и
центробежной силой. Через dS обозначим также элемент площади поверхности
в окрестности точки с координатами (д, v).
Полную силу, действующую на частицу вещества в деформированной
конфигурации, можно рассматривать как включающую три составляющих:
(I) притяжение исходного равновесного эллипсоида,
(II) притяжение поверхностного слоя, образованного разностью между
деформированной поверхностью и эллипсоидом,
(III) центробежная сила.
Если drriE обозначает элемент массы эллипсоида, a Q - расстояние от него
до данной произвольной точки Р, суммарный механический
140
Глава VI
потенциал в точке Р в соответствии с составляющими (I) и (III) равен
где г - расстояние Р от оси вращения. Произведение гравитационной
постоянной на плотность Gp можно принять за единицу.
Поскольку эллипсоид, по предположению, является формой равновесия, V на
его поверхности будет постоянным и равным Vo. Градиент V является суммой
гравитационной и центробежной сил, действующих на единичную массу в точке
