Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
следствия из уравнения Ламэ для всех а, Ъ и с.
(I) Не считая радикальных множителей, L(X + a2) = 0 не может иметь
корней 0, а2 - Ь2 или а2 - с2.
Это значит, что Lr не может иметь Л + а2, \ + Ь2 или А + с2 в качестве
множителей, кроме тех случаев, когда корни являются радикалами.
Действительно, общая функция L удовлетворяет уравнению Ламэ, которое
можно записать как
(Л + а2)(Л + Ь2)(Х + с2)~§ + dX2
+ |{(Л + 62)(Л + с2) + (Л + с2)(Л + а2) + (Л + а2)(Л + 62)}^ = (HX + K)L.
Теперь предположим, что L = (Л + а2)/(Л), где / - многочлен, не
исчезающий при Л + а2 = 0. Тогда имеем
^ = / + О + о2)/' = / Для А + а2 = 0,
= 2/; + (А + a2)f" = 2/' для А + а2 = 0.
dXz
Подставляя эти выражения в уравнение Ламэ и полагая А + а2 = 0, получим
i(A + 62)(А + с2)/= 0 для А + а2 = 0,
и следовательно, / должна содержать А + а2 в качестве множителя. Но это
противоречит сделанному выше предположению, следовательно, сама L не
может содержать А + а2 в качестве множителя. Аналогично устанавливается,
что ни А + Ъ2, ни А + с2 не могут быть множителями L.
Эллипсоидальный гармонический анализ
119
Следовательно, если предположим, что L = (А + а2)3/2/(А), или L = (А +
а?У f{А), где j > 1, и продифференцируем уравнение Ламэ должное
количество раз, чтобы заменить в нём производные от функции L, а затем,
полагая А + а2 = 0, придём к указанному противоречию.
(II) Уравнение L = 0 не может иметь двойных или кратных корней.
Сначала допустим двойной корень, тогда при этом значении А имеем L = 0 и
^ = 0 и, согласно уравнению Ламэ, тогда будет ал
(А + а2)(А + 62)(А + с2)^§ =0
ил
Но по (I) такой корень не может возникнуть при -а2, - Ь2 или -с2,
л2 г
а следовательно, и быть корнем = 0. Это означало бы существование
тройного корня или корня ещё большего порядка, что противоречит
сделанному предположению. Поэтому корень не может быть двойным.
Если мы предполагаем существование тройного корня или корня ещё более
высокого порядка, то посредством дифференцирования уравнения Ламэ
достаточное количество раз мы снова приходим к противоречию.
Теперь вернёмся к уравнению Lr(X + а2) = 0 для общего случая а ф b и
докажем, что все корни являются вещественными и различными и лежат между
0 и а2 - с2.
Предположим, что это уравнение имеет один или более корней, больших чем
а2 - с2. Тогда, если допустить, что Ь непрерывно изменяется и стремится к
равенству с а, то на некотором этапе этот корень должен пройти через
значение А + а2 = а2 -с2, т. к. было уже показано, что при а = Ъ все
корни меньше а2 - с2. Но согласно (I), такой корень существовать не
может, соответственно, и корень, больший чем а2 -с2, не может исчезнуть
подобным образом. Аналогично, не может быть корня меньше 0.
Имеется альтернативная возможность, что если бы уравнение Lr = = 0 имело
два корня, больших, чем а2 -с2, то они могли бы исчезнуть и стать
невещественными на некотором этапе при приближении Ь к а. Но, по условию
непрерывности, два таких корня должны были бы совпасть, перед тем как
стать комплексными или мнимыми, а по следствию из (II) это невозможно.
120
Глава V
Поскольку при а = Ъ все корни Lr = 0 являются вещественными и различными,
то же должно быть верным и при Итак, мы можем
сделать окончательный вывод, что все корни уравнения
Ьг(\ + а2) = 0
являются вещественными и различными и лежат между 0 и а2 - с2.
Альтернативный метод построения эллипсоидальных гармонических функций
Расположение нулей некоторых функций Ламэ данного типа можно определить
ещё более точно, чем уже было сделано ранее. Это необходимо в связи с
вопросом об устойчивости эллипсоидов Якоби. С этой целью мы докажем,
следуя Стилтьесу, важную теорему. Однако вначале рассмотрим метод прямого
построения эллипсоидальных гармонических функций в прямоугольных
координатах.
16. Построение гармонических функций первого рода
Гармонические функции первого рода можно записать в виде
171 9 2 9
Q,Q,...Qm = П(дуд + дуд + дуд - ф
Например, находим гармоническую функцию второго порядка данного типа
V2Q = V2(^-+ -у^-+ ^--i) + +
Аа +А b + A c+A ' Aa + A b + А с + X'
Таким образом, Q будет сферической гармонической функцией при условии,
что А является корнем уравнения
(А + 62)(А + с2) + (А + с2) (А + а2) + (А + а2)(А + Ъ2) = 0.
Это квадратное уравнение имеет корни Ai и Аг, причём
-a2 < Ai < -Ъ2 < А2 < -с2, или 0 < Ai + а2 < а2 - Ь2 < А2 + а2 < а2 - с2.
Эллипсоидальный гармонический анализ 121
Следовательно, существуют две эллипсоидальные гармонические функции
данного типа, соответствующие этим двум разным возможным значениям А.
Далее рассмотрим условия того, чтобы произведение П Q1Q2Q3 • • • Qm
было гармонической функцией. Прямым дифференцированием получаем
т
9П 9П 2а;
all _ у-
д-Т
дх dQp а2 + А" '
р= 1 г
a2n _ \ ' ап _ 2 \ ' \ ' а2п_____
дх2 " dQp а2 + Хр р^1 ^QpdQq (а2 + Хр)(а2 + Xq)
Отсюда
v2n=Щ{
dQp I а2 + Хр Ъ2 + Хр с2 + XpJ д2 П Г 8а;2
рфд ^ ^ (a2 + ^р)(°2 + \)
"о ^
(Ь + А р)(Ь + Xq) (с +Ар)(с + Xq) С учётом равенств
