Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что внутри области существует по крайней мере одно
множество значений переменных, при котором Р достигает своей верхней
границы, т. е. внутри области существует множество значений, при которых
Р, а значит и log Р, имеют максимальное значение. Эти значения ipi, р2, ¦
¦ ¦, Рт даются уравнениями
д log Р д log Р д log Р
dpi др2 ' ' ' дрт
Но в раскрытом виде эти уравнения в точности повторяют, с учётом замены
Хр на рр, уравнения (30). Следовательно, каждое решение уравнения (30)
обязательно лежит внутри области (31), исключая её границу.
Таким образом, если г имеет одно из значений 1, 2, ..., то + 1,
существует соответствующая функция Ламэ с такой рациональной частью, что
г - 1 её нулей лежат между -а2 и - 62, а оставшиеся то - г + 1 лежат
между -Ь2 и -с2. Кроме того, поскольку при данных значениях "1, К2, кз
существует т + 1 функций Ламэ данного типа, то все они получаются по
очереди, когда г задаётся последовательностью значений 1, 2, ..., то + 1.
Наконец заметим, что если г = 1, то корней L(А) между -а2 и -62 не
существует, а если г = то + 1, то не существует корней между -Ъ2
Глава VI
Дополнительные свойства функций Ламэ и их применение к гравитации
Эллипсоид Е
можно рассматривать как поверхность А = 0, а любую точку этой поверхности
(в положительной четверти) можно задать через координаты (д, v).
Перпендикуляр от начала координат до касательной плоскости в точке с
координатами (д, и) оказывается равным
Удобно обозначить это расстояние как uiabc, так что величина
всегда является конечной и положительной. Она играет важную роль при
доказательстве свойства ортогональности сферических поверхностных функций
на эллипсоиде.
Если MN и M\N\ - две разные сферические поверхностные функции, то
где dS - элемент поверхности (1), а двойной интеграл берётся по всей
поверхности эллипсоида (Е).
Это утверждение легко можно доказать с помощью теоремы Грина, для чего
рассмотрим две шаровые гармонические функции
abc
(2)
Е
V = LMN и Vi = L1M1N1.
Дополнительные свойства функций Ламэ 127
Тогда всюду V2V = 0 и V2Vi = 0. Но по теореме Грина
IH(V1V2V-VV2V1)dxdydz = Ц (y^-V^dS,
Е
где интеграл слева берётся по внутреннему объёму эллипсоида, поверх-
д
ностный интеграл - по его поверхности, а - обозначает дифференциал
рование вдоль внешней нормали. Поскольку V и V\ - гармонические функции,
левая часть этого равенства исчезает, а поверхностный интеграл справа,
соответственно, должен быть равным нулю.
При бесконечно малом смещении вдоль нормали меняется только координата Л,
отсюда
EL = MN- = MN- ¦ - дп дп дХ дп'
Но согласно выражениям (13) в главе V, стр. 93,
dn = h1d\= - У'(Л-//)(Л~г/) dX =
2д/ (а2 + Л)(62 + Л) (с2 + Л)
= -- d\ (на поверхности Л = 0) = ^ , dX.
2 abc v ' 2toabc
Таким образом, поверхностный интеграл становится равным Ij MN Mi7Vi(i^ -
Li^jcoabcdS = 0.
E
Шт dL\ j- dL \
множитель L- Li -- зависит только от Л, поэтому он остается
dX dX
постоянным на всей (Е) или любой Л-поверхности и, следовательно, может
быть вынесен за знак интеграла. Этот множитель к тому же не может быть
нулевым, иначе бы мы имели
1 dLi 1 dL т ,т
ЕЖ = 1Ж или L' = kL-
где к - постоянная, а это означало бы, что L и Li не являются разными
функциями Ламэ. Таким образом, свойство ортогональности (2) доказано.
128
Глава VI
Следует помнить, что этот результат выполняется не только, когда MN и
M\N\ являются функциям разного порядка (гг), но и для двух любых разных
гармонических функций одного порядка.
1. Разложение функции в ряд по эллипсоидальным поверхностным
гармоникам
Как уже было показано, любая непрерывная функция в точке (/г, гг) на
поверхности эллипсоида может быть представлена линейной суммой
поверхностных функций MN, а свойство ортогональности позволяет теперь
формально получить коэффициенты в этом разложении.
Таким образом, для любой функции Ф(д, гг) мы имеем разложение вида
Ф = У А-кМк^к,
к
где Ак - некоторые постоянные. Умножая на и интегрируя по
поверхности эллипсоида, получаем
Ij ФФ(д, v)MkNkdS = Ц Z^AiMiNjMkNkdS.
Е Е 1
Поскольку все произведения разных гармонических функций справа, кроме
случая i = к, при интегрировании обращаются в нуль, то
[[ шФМкЩ dS = Ak [[ ujMInI dS. (3)
Это выражение формально и определяет постоянные Ак в разложении Ф по
эллипсоидальным (поверхностным) гармоникам. Их удобно называть
постоянными разложения функции Ф(д, гг). Необходимо отметить, что
множитель, на который умножаются константы Ак в правой части (3),
является положительной величиной.
2. Линейная независимость 2n + 1 эллипсоидальных гармонических функций
данного порядка п
Теперь можно легко установить линейную независимость как простое
следствие ортогональности. Пусть LaMsNs (s = 1, 2, ..., 2n + 1) -
Дополнительные свойства функций Ламэ
129
эллипсоидальные гармонические функции данного порядка гг, и допустим, что
существуют 2гг + 1 постоянных cs (не все равные нулю), так
Если умножить это на uiMpNp, где MpNp - любая выбранная из 2гг +1
