Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
эллипсоидальных поверхностных гармоник порядка п, и проинтегрировать по
поверхности эллипсоида, то получим
причём все другие члены по условию свойства ортогональности исчезают. Но
интеграл всегда положителен, поэтому мы должны иметь щ = = 0 для всех к,
а это противоречит исходному предположению. Соответственно никакого
линейного соотношения быть не может. Отсюда следует, что эллипсоидальные
гармонические функции любого данного порядка линейно независимы.
3. Функция S(А), связанная1 с L
Поскольку уравнение Ламэ является дифференциальным уравнением второго
порядка, должно существовать два независимых решения для каждого из
значений К. Конкретно, при данном К функцию L можно рассматривать как
одно из таких решений, а другое независимое решение обозначим через S.
Чтобы определить это второе решение, предположим, что и заменяет
независимую переменную А в уравнении Ламэ, так что
данном разделе речь идёт фактически о втором независимом решении
уравнения Ламэ, поэтому термин в оригинале associated with L отнюдь не
означает присоединенной функции. У Аппеля, например, функция S(А)
называется решением второго рода, что точнее, чем у Литтлтона. - Прим.
ред.
ЧТО
2п+1
У csLsMsNs = 0.
1
dX = -2у/(а2 + А){Ъ2 + А)(с2 + A) du = -2Adu.
Тогда
и уравнение Ламэ можно записать как
Щ = А(НХ + K)L.
dw
130
Глава VI
Функция 5 будет удовлетворять такому же уравнению, поэтому
Умножая первое из этих уравнений на 5, а второе на L и вычитая одно из
другого, получим:
Если бы эта постоянная была принята за нуль, то дальнейшее интегрирование
дало бы, как показано выше, S = kL. Но хотя это и было бы возможным
решением, оно, конечно, не являлось бы новой функцией. Однако если взять
отличную от нуля постоянную, то 5 окажется действительно новой функцией.
Конкретное значение для постоянной (которая пока не нуль) не существенно,
т. к. её изменение привело бы лишь к умножению 5 на постоянный множитель.
Для гармонической функции LMN порядка п удобнее выбрать постоянную
интегрирования со значением 2 гг + 1. Таким образом, имеем
Верхний предел интегрирования вновь выбран с учётом удобства.
Щ = 4(ЯА + K)S.
Л*11 ^
du
du2 du2
или, после интегрирования,
du du
J_(rdS_ ndL\ = 2n+ 1 i2V du du) L2 '
что после интегрирования дает
U
0
или, возвращаясь к А,
ОО
5(A) = L j
(2 п + 1) d\
(4)
А
2I2vV + A)(&2 + A)(c2 + A)
Дополнительные свойства функций Ламэ 131
Найденная таким образом функция 5(A), следовательно, имеет вид
S (X) М (р) N (и)
и тоже удовлетворяет уравнению Лапласа в криволинейных координатах Л, /л,
V.
Позже мы увидим, что 5^0, когда Л -> оо.1 Для больших Л имеем L = аХпI2 =
от", где а - любой постоянный множитель и1-" Л3/2. Отсюда, для больших Л
ОО
S = а\п/2 [ ¦ -Щ- = а-1 Х-(п+1^2 =
J а Хп 2А3/
А
Таким образом, по аналогии со сферическими гармониками, функция SMN
соответствует функциям типа г~п~г Pv{cos Q)
Итак, получается, что общее нормальное решение уравнения Лапласа в
координатах А, р, v имеет вид
?{",ца )+Аг/^},
А н о
что соответствует функции
УД1rn + p1r^n^1){a2Pn(cos9) + /32Qn(cos9)}(аз cosр(р + /З3 sinр(р)7
относящейся к обыкновенным сферическим гармоникам.
Также можно отметить, что при А -> сю
LS - аХп'2 ¦ а-'Х-^У2 = А"1/2
при любых п и а.
4. Задача Дирихле для эллипсоида2
Предположим, нам даны значения, принимаемые функцией на поверхности
эллипсоида (1), и мы хотим найти гармоническую функ-
1 Собственно говоря, это сразу следует из формулы (4). - Прим. ред.
2В математической физике ранее (см., например, [2], стр. 153)
использовался термин "проблема Дирихле". Однако теперь под проблемой
Дирихле мы будем понимать обширную область в теории эллипсоидальных фигур
равновесия с внут-
ренними течениями. Именно такая терминология была принята, например, в
[4], стр. 140. - Прим. ред.
132
Глава VI
цию V, определённую во всем пространстве, которая принимает эти значения
на эллипсоиде.
Пусть Ф(/л, v) обозначает ту функцию, к которой приводится V на
эллипсоиде. Ее можно выразить как линейную сумму сферических
поверхностных функций в виде
Ф = ]THiMi7Vi.
Мы можем заменить каждую постоянную А± в этом выражении другой,
отличающейся от А± на небольшую величину, полагая
Ai = сцГфА = 0)5г(Л = 0),
где Li - функция Ламэ от Л, связанная с MjTVj, а 5* - также
соответствующая им функция. Таким образом, на эллипсоиде имеем
Ф = ^агТг(0)5г(0)Мг7Уг,
где Li(0) и Si(0) означают значения этих функций при Л = 0.
Рассмотрим сферическую гармоническую функцию, определённую следующим
образом:
{V = 'y^aS(0)LMN внутри эллипсоида,
V = ^aT(0)5Af7V вне его.
Эта функция, очевидно, повсюду удовлетворяет уравнению V2P = 0 и
принимает заданные значения Ф на поверхности эллипсоида. Соответственно,
она и представляет собой решение задачи.
Здесь заметна тесная аналогия с соответствующим результатом в сферическом
гармоническом анализе.
5. Гравитационный потенциал поверхностного слоя на эллипсоиде
Очевидно, вышеописанная функция V является непрерывной при переходе через
