Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Эллипсоидальный гармонический анализ 115
которое можно записать в краткой форме
A L = KL,
где через А обозначен оператор, действующий на L в левой части уравнения1
.
Предполагая теперь, что между 2 гг + 1 возможными функциями Ламэ
выполняется линейное соотношение вида
2п+1
V csLs = 0 (s = 1, 2,, ..., 2гг + 1),
S- 1
где cs - константы, причём не все из них равны нулю. Очевидно, если мы
разделим соотношение на части, в каждой из которых множители-радикалы
одинаковы, то несколько линейных сумм, полученных таким образом, должны
исчезнуть. Например, если бы п было чётным, существовало бы + 1
рациональных функций Ламэ (первого вида) и три множества ^п функций Ламэ,
содержащие пару множителей-радикалов. Очевидно, что в тождественно равной
нулю линейной сумме этих 2гг + 1 функций рациональная часть, включающая
у/(Л + Ь2)(А + с2), часть, включающая у/(Л + с2)(А + а2) и часть,
включающая у/(Л + а2)(Х + Ь2), должны исчезать независимо друг от друга.
То же самое должно выполняться при нечётном гг, и части, включающие \/Х +
а2, \/А + 62, \/А + с2 и у/(Л + а2)(Х + Ь2)(Х + с2), должны полагаться
равными нулю независимо друг от друга.
Какую бы из таких частей мы ни выбрали, это будет линейная сумма
j
J2csLs = 0, (27)
*¦=1
в которой j, число функций L, равно числу различных возможных значений К,
как дано в последнем столбце таблицы III. Если обозначить через К1, К2,
..., Kj эти различные значения К, мы будем иметь для каждой La
ALs = KgLg (s = 1,2,..., j).
1 Символ А в данной книге многофункционален. Не следует путать его с
ранее
использованным значением А в главе IV (авт.).
116
Глава V
Отсюда, действуя на (27) оператором А, получаем
з
^ ^ KscsLs - 0.
5 - 1
Повторное применение А даёт
з
^2 K^caLa = 0,
3 = 1
и т. д. Действуя так последовательно j - 1 раз, мы находим для всех j
линейные соотношения, а если исключить j величин csLs, получаем
1 1 1 1
Кг К2 К3 ¦ .. к, О II
кг1 щ-1 Kt1 ¦ Г '¦о. 1
Это уравнение эквивалентно следующему: j
Y[(KP-Kq) = 0 (p^q),
i
однако такой результат не может быть верным, т. к. все К3 разные.
Соответственно линейное соотношение между функциями Ламэ данного порядка
существовать не может. Таким образом, их линейная независимость доказана.
15. Нули функций Ламэ
В настоящем разделе обозначим через Lr рациональную часть любой из
выбранных функций Ламэ, т. е. такую, где радикалы (если они существуют)
опускаются. Радикалы, если они есть в функции Ламэ, являются нулями при Л
= -а2, Л = - Ь2 или Л = -с2, так что если рассматривать L как многочлен
от А + а2 (а это окажется удобным впоследствии), наличие радикалов будет
означать нули L при Л + а2 = = 0, а2 - Ь2 или а2 - с2. Также отметим, что
п " 2 1.2 " 2 2
0 < а -Ь < а -с .
Теперь перейдём к доказательству следующей теоремы.
Теорема. Все корни уравнения Lr = 0 для неизвестной Л + а2 лежат между 0
и а2 - с2.
Эллипсоидальный гармонический анализ
117
Сначала допустим, что а = Ъ. Тогда, как мы уже видели, функция L сводится
к виду
L = {1 + т2)р/2 Dp+n(l + т2)",
с2 4- Л
где т2 = , а р имеет одно из значений 0, 1, 2, ..., п.
а - с
Уравнение L = 0, рассматриваемое как уравнение для т2, имеет ^р или + 1)
(в соответствии с чётным или нечётным р) совпадающих
корней при т2 = - 1 вместе с корнями, возникающими из полиномиального
множителя Dp+n{ 1 + т2)(tm). Чтобы установить распределение корней этого
многочлена, можно начать с уравнения (1 + т2)(tm) = 0 и рассмотреть цепочку
многочленов, полученных его последовательным дифференцированием. Если т2
принять за переменную, то само это уравнение имеет п корней при т2 = -1.
Далее, уравнение
D(l + T2)n =т(1+т2)"-1 =0,
полученное дифференцированием, имеет п - 1 корней при т2 = -1 и один
корень при т = 0. Аналогично получаем второе преобразованное уравнение
D2{ 1 + т2)п = {1 + (2п - 1)т2}(1 + г2)""2 = 0.
Поскольку п > 1 (чтобы возникало второе дифференцирование1), то 2п - 1 ^
3, и это уравнение по т2 имеет гг - 2 корней при т2 = -1 и один корень,
расположенный между -1 и 0.
Продолжая далее, мы видим, что каждое дифференцирование даёт
дополнительный корень между -1 и 0, и все эти промежуточные корни
являются отделёнными и чередуются с корнями предыдущего уравнения
цепочки, т. к. они возникают одновременно от следующих один за другим
критических значений.
Если присутствует множитель т ос \JА + с2, он даёт корень при а2 - с2, но
раз мы условились, что радикальные множители из L опус-
а2 + Л
каются, такого корня не существует. Поскольку 1 + т2 = кор-
а - с
ни т2 = -1 соответствуют корням Л + а2 = 0. Отсюда, когда а = Ь, все
1 Точнее,чтобы второе дифференцирование не приводило к тривиальному
результату. - Прим. ред.
118
Глава V
корни рационального уравнения
Lr(A -Ь о?') - О
должны удовлетворять неравенствам
О < Л + а2 < а2 - с2,
и, кроме того, все промежуточные корни обязательно являются различными.
Перед тем как продемонстрировать, что те же условия подходят и для корней
общего уравнения Lr = 0, требуется установить два следующих простых
