Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
на ABC, уравнение можно записать в следующей форме:
<" - "i-4! (АШ)+<" - X>BUB%,)+<А - ">СМС%) = "•
или
, 0>Л2
а, о, с
4. Нормальные решения уравнения Лапласа
Предположим, что мы ищем решения уравнения (14) в виде
V = L(X)M(p)N(y),
где, как видно, L является функцией только от Л, М - функцией только от
д, а N - функцией только от гл Определяемые таким образом решения иногда
называются нормальными решениями этого уравнения. Для таких решений имеем
АМАж) = шк'ШАж)-
соответственно уравнение Лапласа принимает вид:
/ Д d (ЛдЬ\ , , \лВ d (Т}дМ\ , м ЛС d (ndN\ n
<'•- "Л Пэл) + <" " А)мДвДД +(A -"'jvStO a;) = °-
Запишем данное уравнение в следующей форме:
(д - н)р(Х) + (v- Л)<д2(д) + (А - дДзД) = 0.
Это уравнение, если V является решением V2H = 0, должно быть верным для
всех Л, д, V. Подстановка д = v сразу даёт <д2(д) = ^з(д), таким образом,
все три функции ip, должны быть одинаковыми,
так что
(д - у)р{\) + {v- А)<д(д) + (А - дМО = 0.
Чтобы найти <д при Л = 0, это уравнение можно записать как
<д(д) - ДО) ДД - ДО)
Эллипсоидальный гармонический анализ
95
а поскольку оно должно выполняться при всех д и и, обе его части должны
быть постоянными. Итак, функция р имеет вид
р(Х) = нх + к,
где Н и К - постоянные, поэтому дифференциальное уравнение для L будет
иметь вид:
Аж{Аж) = {нх+к^ <15>
По причинам, которые выяснятся позже, Н удобно заменить другой постоянной
п, связанной с ней следующим образом:
^п(п + 1) = Н.
Далее мы увидим, что важными случаями являются те, когда п - целое число.
Уравнение для L становится следующим:
Ad\(A^)-{h{n + 1)x + K}L = 0- (1б)
Это линейное дифференциальное уравнение для L известно как уравнение
Ламэ.
Функции М и N удовлетворяют точно таким же уравнениям, если д и v взяты в
качестве независимых переменных для соответствующих случаев.
При любых значениях Н и К, данное уравнение имеет общее решение, которое
можно записать как (X). Именно оно, а точнее произведение
V = EK{\)E*{p)EK(v),
определяет решение V2V = 0. Поскольку уравнение Лапласа является
линейным, любая линейная комбинация решений этого вида также будет его
решением.
5. Полиномиальные решения уравнения Лапласа
При подходящем выборе постоянных Н и К уравнение Ламэ будет иметь решения
следующих типов:
(I) многочлен от А;
96
Глава V
или (II) многочлен от Л, умноженный на один из радикалов л/Л + а2, л/А +
Ъ2 или л/А + с2;
или (III) многочлен от А, умноженный на два любых из этих радикалов;
или (IV) многочлен от А, умноженный на \/ {X + а2)(А + 62)(А + с2). Такое
решение, если оно существует, можно, опуская постоянный множитель,
записать во всех случаях в виде
L(X) = (А + a2)Kl (А + Ъ2)К2 (А + с2)Кз (Am + аД(tm)-1 + ...) =
= (А + а2)К1(А + Ь2)К2(\ + с2)Кз/(А),
где индексы "ц, "д и кд независимо друг от друга равны 0 или т -
положительное целое число, а /(А) - многочлен степени т.
Если М и N обозначают соответствующие им выражения c/ihi/ вместо А,
произведение L(X)M(ii)N(h>) можно будет выразить с помощью формул (4) и
(5) как многочлен по х, у, z, в котором члены высшей степени имеют
порядок 2(кц + кд + кд + т). Очевидно, этот многочлен не является
однородным. Если его высшие члены имеют порядок п (его тождественность с
п из уравнения (16) для случаев с целыми числами вскоре проявится), то мы
всегда будем иметь
1
"л + кд + кд + ш = -п.
Поэтому, если п - чётное, то все три или одно из к должны быть нулевыми,
а если п - нечётное, то либо два к должны быть равны нулю, либо вообще ни
одного.
Теперь, если это выражение для L подставить в уравнение (15), оно должно
стать тождеством, а это в качестве первого условия требует, чтобы Н имела
специальное значение. Для доказательства составим
= "ДА + а2)К1~Ц А + Ъ2)К2+* (А + c2fi+* (\т + щА(tm)"1 + ...)+
ал
+ к2(А + а2)К1 + 2 (А + Ъ2)К2~ 2 (А + с2)Кз + 2 (А(tm) + ^А(tm)-1 + ...) + +
кз(\ + а2)К1 + ^ (А + Ъ2)К2+* (А + с2)Кз~Ц\т + aiA(tm)-1 + ...) + + т( А +
a2f1 + ^ (А + b2f2+^ (А + c2fi+* (Am_1 + ...).
Эллипсоидальный гармонический анализ
97
Учитывая на данном этапе только высшую степень Л, её порядком будет
являться
подставить в левую часть уравнения (15), член высшего порядка будет равен
Конечно, он будет равен члену высшего порядка в правой части,
возникающему из (ЯА + K)L; соответственно, в качестве первого условия,
чтобы решения известного типа приводили к гармоническому полиному порядка
п, должно быть
где п - положительное целое число.
Прежде чем показать, что К можно выбрать так, чтобы существовали решения
данного вида, заметим, что полиномиальные решения по х, у, z уравнения
V2V = 0 можно разбить на четыре разных типа. В таблице III представлены
эти четыре случая, а также дана связь между степенью многочлена Ламэ V и
функцией Ламэ L. В этой таблице F обозначает многочлен по х2, у2, z2 вида
В последнем столбце таблицы представлен ряд различных значений К,
соответствующих данному п для того, чтобы решение имело вид, указанный в
третьем столбце. Ниже мы покажем, как можно выбрать подходящее К.
