Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Существует четыре случая, соответствующих четырем типам в таблице III.
6. Определение К
(I) Для функций вида (1) значение п должно быть чётным, тогда функция
L(А) будет многочленом степени ш = ^п. Она содержит, следовательно, + 1
коэффициентов, причём коэффициент при члене
К1 + к2 + к3 + ^ + т = |(гг + 1), а коэффициент равен кх + к2 + кз + т =
^п. Следовательно, если L
±п{п + 1)А(п+1>/2.
Я = |гг(гг + 1)
98 Глава V
Таблица III.
Виды Форма решения в прямоугольных координатах (многочлен Ламэ степени
п) Форма соответствующей функции Ламэ L Степень /(А) рациональной
части L Номер значений лт, равный номерам различных функций L
(С У = F(x2,y2,z2) п чётное ДА) 1 2П |(И + 2)
(2) У = {v}wM п нечётное Ы\ + а2Л \ VA + Ь2 /(А) 1 Д А + с2 J |(п-
1) |ф + 1)
(3) [ yz1 У = Izx V F(x2,y2,z2) (ху) п чётное |V(A + b2)(A + c2n 1
л/(А + с2)(А + а2) /(А) lV(A + a2)(A + 62)J ±(п-2) 1 2П
(4) У = xyzF(x2, у2, Z2) п нечётное V(A + a2)(A + 62)(A + c2)/(A)
|ф-з) |(п-1)
с наивысшей степенью был принят за единицу. Таким образом, имеем L = Хп/2
+ aiA*"-1"/2 + а2\(п-2)/2 + ...,
где коэффициенты а2, ... должны быть расположены так, чтобы это выражение
было решением уравнения Ламэ. Следовательно, подстановка данного
выражения в дифференциальное уравнение для L
А2Щ + ^44 • 4т = (нх + K)L
d\2 d\ d\
должна привести к тождеству. Как видно, высшая степень А, появляющаяся в
левой части, равна Хп + 1, а результирующее выражение
должно содержать ^п + 2 коэффициентов, соответствующих членам в А(и+1)/2,
А"/2, ..., А, А0. При выборе Н = ^п(п + 1) члены высшего порядка в обеих
частях уравнения одинаковы, а ^п+1 оставшихся в них коэффициентов должны
быть равны. Это даёт ^п + 1 уравнений, которые являются линейными по К и
по ^гг + 1 коэффициентам многочле-
Эллипсоидальный гармонический анализ 99
на, соответствующего L. Исключение этих коэффициентов приводит к
уравнению для К степени 1. Соответственно существует ^n+ 1 возможных
значений К, каждому из которых отвечает полиномиальное решение. Их число
дано в четвёртом столбце таблицы на стр. 98.
Ниже будет показано, что все корни этого уравнения для К являются
вещественными и различными; очевидно, все они приводят к т^п+ + 1 разных
полиномиальных решений.
(II) Рассмотрим функции вида (3), где п опять чётное.
В этом случае L будет включать в качестве множителей два радикала
(которые могут быть выбранными тремя способами), так что степень
рациональной части L{А) равна теперь т^п - 1. Соответственно
она содержит ^п коэффициентов и по аналогии с вышеуказанным их
исключение ведет к ^п значений К. Таким образом, каждой из трёх
возможных пар множителей-радикалов соответствует ^п значений К.
Далее будет показано, что эти значения К являются вещественными,
различными и приводят к разным функциям L.
Если п - чётное, существуют функции только (1) и (3) видов, причём полное
число функций Ламэ данного порядка п равно
(|n + l) +З(|тг) =2п + 1.
(III) Функции вида (2) существуют тогда, когда п - нечётное. Один
радикальный множитель может быть выбран тремя способами, а рациональная
часть L будет иметь степень ^ (п - 1). Она включает i (п + 1)
коэффициентов, исключение которых ведёт к i(n + 1) значениям К,
являющихся, как будет показано позже, вещественными и различными.
(IV) Функции вида (4) также существуют, когда п - нечётное. Теперь L{А)
содержит все три множителя-радикала, а её рациональная часть имеет
степень -^(п - 3). Соответственно существуют ^(п - 1) вещественных и
различных значений К, которые ведут к i(n - 1) разных функций Ламэ.
100
Глава V
Если п - нечётное, функциями Ламэ являются только те, которые относятся к
виду (2) и (4), и их полное число
Таким образом, не зависимо от того, чётное п или нечётное, всегда полное
число функций Ламэ равно 2п + 1. Именно этого результата следовало
ожидать, т.к. каждая из функций Ламэ Ь(Х) ведёт к многочлену Ламэ V(x, у,
z), удовлетворяющему уравнению V2H = 0. Члены высшей степени в V образуют
присоединённый однородный многочлен, скажем Vh, порядка п,
удовлетворяющий V2Vh = 0. Теперь путём подсчёта коэффициентов можно легко
доказать, что существуют 2п + 1 независимых однородных полиномиальных
решений степени п. Очевидно, члены высшего порядка в каждом из
многочленов Ламэ будут являться определённой линейной суммой таких
гармоник, представленных в эллипсоидальных координатах.
Члены низшего порядка в многочлене Ламэ V(ж, у, z) единственным образом
определяются через члены высшего порядка, т. к. мы имеем
а однородная часть, представленная членами высшей степени, есть
и если дано 1ф, то сразу же можно получить и выражение для V.
Позже будет показано, что 2п + 1 однородных многочленов, образующихся из
многочленов Ламэ порядка п, линейно независимы и, следовательно, любой
однородный гармонический многочлен порядка п единственным образом можно
выразить через линейную сумму таких многочленов.
7. Функции Ламэ и многочлены 0, 1, 2 и 3 порядка
Прямым приложением вышеописанной теории нетрудно обнаружить следующее:
