Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
производную от U. Отбрасывая постоянный множитель ^т7г2С?р2г5, имеем
- = (1 - е2)"5/6 ^ sin-l е+ 1(1 _ е2)-1/3 + 1ке{1 _ е2Г4/3 = Q
Это уравнение выполняется, как и следовало ожидать, когда к имеет
значение (17). Следовательно, при таком си сфероиды Маклорена
действительно являются формами равновесия. Чтобы изучить их устойчивость,
имеем
= '11 - "V11"*.-1 е(-4 + f) - (1 - вЩ'ДА - |
Из этого выражения следует, что обращается в нуль при е = 0,
d2U de2
а после этого вторая производная имеет положительный знак и сохраняет
его, пока значение е не будет удовлетворять уравнению
1 , 9ч1/9 (9е - 2е3)
sm-1e={l-e2)1/ зА
(9 - 8е
1В оригинале в этой формуле была опечатка: вместо к/2 стояло 2к. - Прим.
ред.
Сфероидальные и эллипсоидальные формы 77
где вторая производная меняет свой знак и становится отрицательной1. С
помощью формулы (17) можно легко проверить, что это значение е точно
соответствует тому, при котором выполняется = О.2 Соответственно
устойчивость для данных выше ограничений исчезает при максимальном
значении угловой скорости. Другими словами, если за этой точкой проводить
измерения в выбранной системе отсчёта, то координаты при любом
стационарном состоянии стали бы отклоняться всё больше и больше от их
исходных значений. Позже мы покажем, что это мнимая неустойчивость.
Фактически, такой результат означает лишь то, что не существует сфероидов
Маклорена, вращающихся быстрее, чем
6. Устойчивость сфероидов при возрастающем угловом моменте
Если взять угловой момент Н в качестве параметра и принять те же
сохраняющие сфероидальную форму ограничения на деформацию, то нетрудно
убедиться, что ряд Маклорена является "вполне" устойчивым, а найденная
выше неустойчивость - ложная, возникающая исключительно из-за выбора
осей.
В данном случае подходящей функцией для исследования вековой устойчивости
будет
дт2
u=v+iг
где Н = \\Ма2и> и I = \Ма2 = |Mr2( 1 - е2)-1/3. Смещения на лю-
О 0 0
бой стадии выражаются, при постоянном Н, через изменение е. Таким
образом, имеем
и = _l|^2Gp2r5(1 _ e2)V6 ып_1е + _5Я^(1 _ е2)1/3 =
1о к 4 Mr
= _l|7r2Gp2r5|(1 _ е2)1/6 sin_^e _ к(1 _ е2)1/зу
оригинале в знаменателе этой формулы ошибочно стояло 9 - 8е3. - Прим.
ред.
2 Все эти выводы легко проверить, если представить формулу в более
удобном и
d2U е duj2 гг ц
компактном виде -- = --------------------------. - Прим. рео.
de бтгGp(l-e2)4/3 de
78
Глава IV
где к - множитель:
к = 5Н2 ¦ 15 =
4 Mr2 I67T2Gp2r5
_ ui2 _1_
" 2irGp ' 2(1 -е2)2/3'
который остаётся постоянным во время деформации. Формы равновесия, как
обычно, определяются уравнением (где постоянный множитель Щтт2Ср2г5
опущен)
Рис. 11. График зависимо- - = (1 - e2)_5/6sin_1 ---^)"*"
сти Н от е для сфероидов е
Маклорена +е-1(1 _ ^-1/3 + 2 (1 _ ^-2/3 =
О
Как и ранее, это уравнение удовлетворяется при известном нам значении к.
Для проверки устойчивости рассмотрим вторую производную
-0 =(1 - e'rU,°8in" ДМ + дИ1 - е2>"/3(? - Ф
j2rr
Нетрудно видеть, что выражение обращается в нуль только
de
при е = 0 и затем всегда остаётся положительным. Следовательно, всякий
член ряда Маклорена обладает вековой устойчивостью при смещениях,
сохраняющих сфероидальную форму, ось симметрии которой совпадает с осью
вращения.
Вышеописанные результаты, касающиеся устойчивости сфероидов, можно было
сразу вывести из положений главы II. А именно, если в качестве параметра
мы берем и>, то из рис. 10 видно, что при
определённом значении е производная = 0, и в выбранной системе
de
координат устойчивость исчезает. С другой стороны, если в качестве
параметра взять Н, который монотонно возрастает с е, то не существует
конфигураций (кроме сферы), у которых = 0. Поскольку же
сферическая форма устойчива, ряд в целом также должен быть устойчивым.
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
79
7. Устойчивость сфероидов и эллипсоидов при определённых
эллипсоидальных деформациях
Если рассматривать только смещения, при которых всегда сохраняется
эллипсоидальная форма, а ось вращения совпадает с главной осью, то вопрос
о вековой устойчивости вновь можно разрешить достаточно легко.
Будем откладывать по осям прямоугольных координат значения отношений § и
|, тогда для рядов Маклорена и Якоби из таблиц I и II получим диаграмму
на рис. 12. На этой диаграмме точка S изображает сферу (а = Ъ = с), D
соответствует бесконечно тонкому диску-сфероиду (а = b = оо, с = 0), а
точка С - бесконечно вытянутому иглообразному эллипсоиду (а = оо, b = с =
0), представляющему предельную форму фигуры Якоби. В является точкой
бифуркации двух линейных рядов.
Важно отметить, что мы рассматриваем систему с тремя неравными осями,
поэтому для её задания нужны две координаты. Если начать со сфероидов
Маклорена, то мы ограничены случаем а = Ь, требующим только одну
координату, а эллипсоиды Якоби вообще себя не обнаруживают. Именно по
этой причине для форм Маклорена в таблице I нет максимального или
критического значения углового момента, соответствующего точке В. С
