Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Прим. ред.
90
Глава V
стоянии от начала координат параметр Л должен стремиться к бесконечности,
т. е.
г -> у/\ -> оо.
2. Функции и многочлены Ламэ
Предположим, что /(f) есть рациональный целый многочлен степени т от
переменной f, и обозначим
L = f( А), М = /(ц), JV = /(*).
Тогда произведение LMN будет многочленом, симметричным относительно Л, /л
и и.
Если множителями /(f) являются f - <5i, t - 82, ¦ ¦ ¦, t - Sm, то
допустив, что коэффициент при tm в /(f) равен единице, получим
L = f(X) = l[(X-Sr).
г= 1
Тогда, учитывая тождество (4) и опуская множитель, независимый от х, у,
z, имеем
LMN = П"Л - Sr)(n - 5r){v - Ф)}
r=1 (7)
гп о 9 О 4 '
= П{^- + -J- + -*?- - 11.
ft2,: + .2,г /
LLla2 + Sr b + Sr
Г=1 ' '
Следовательно, определённое таким образом LMN всегда будет равно
произведению квадратичных множителей Qi, Qi, ..., Qm, каждый из которых
имеет вид
(tm)2 М ~2
Qr = "2--------7-------72-7--1-2-----------------------7-----------------
-----^
а + 5Г Ь + Sr с + 8Г
Функция (7), которую можно обозначить через V(x, у, z), как будет
показано позже, удовлетворяет уравнению Лапласа
Эллипсоидальный гармонический анализ
91
Тогда исходную функцию L{А) называют функцией Ламэ первого рода или
первого типа.
Если для каждого случая мы в одинаковой форме запишем следующие
выражения:
(I) L = /(Л)\/Л + а2, М = /(m)VM + а2, N = !{v)\Jv + а2,
или (II) L = f(\)V\ + b2, М = f(p)^y + b2, JV = /(i/)^ + b2,
или (III) L = /(Л)л/Л + с2, М = ф{ц)\/ Ц + С2, IV =
f(n)\/V + с2,
где в каждом случае /(Л) является опять рациональным целым полиномом с
членом высшей степени Ат, тогда точно тем же способом видно из (5), что
произведение LMN будет симметричным многочленом относительно А, д, гд
умноженным в случае (I) на ж, в случае (II) - на у, в случае (III) - на
z. Кроме того, рациональную часть произведения LMN снова можно записать
как произведение квадратичных множителей Qr(x, у, z) так, что в целом это
произведение, выраженное через х, у, z, будет иметь одну из следующих
форм:
т 2 9
К = (ж, у, z) - Х}'
Если полученная таким образом V удовлетворяет уравнению Лапласа,
соответствующая функция L{А), которая теперь содержит в качестве
множителя один из радикалов л/А + а2, л/А + Ь2 или у/А + с2, называется
функцией Ламэ второго рода.
Если записать в аналогичной форме выражения для каждого случая
(I) L = + Ь2)(Х + с2),
м = Дм) vV + &2)(м + с2),
или (II) Х = /(А)у/(А + с2)(А + а2),
м = Дм) V(m + с2)(м + а2),
или (III) L = + а2)(Х + Ь2),
м = /(м) а/(м + "2)(м + ь2),
где /(А) опять является рациональным целым многочленом, то, составляя
произведение LMN, приходим к функции, имеющей одну из
92 Глава V
следующих форм:
I-- = ta ху) П{^уу + дту + уду - '}•
а если V2H = 0, то исходная функция L{А) называется функцией Ламэ
третьего рода.
Наконец, если
L = /(Л)\/ (Л + а2)(Л + 62)(Л + с2),
м = fir) V7 (м + "2)(м + &2)(м + с2).
TV = f(v)yj (v + a2)(v + b2)(o + с2), результирующая функция V будет
иметь вид:
т п 2 г,
т г тт Г ж:2 | У | г2 ,
Н = a;yz ------- + --------- + ---- - 1
I- а + ф 6 + ф с + 8Г
а если V2H = 0, то исходная функция L{А), включающая в качестве множителя
выражение
V(A + a2)(A + b2)(A + c2),
называется функцией Ламэ четвёртого рода1.
Перечисленные выше случаи можно схематически объединить следующим
образом:
{X 1/г ) m 2
Z ху J 1 la +Sr b +sr c +8r j
= V{x,y,z). (9)
Если V2H = 0, многочлен И(ж, y, z) называется многочленом Ламэ или
эллипсоидальной гармонической функцией, и для каждого типа функций Ламэ
существует отдельный вид эллипсоидальной гармонической функции.
1 Разумеется, функции М{р) и N{v) в каждом соответствующем случае также
классифицируются, как функции Ламэ первого, . . ., четвертого родов. -
Прим. ред.
Эллипсоидальный гармонический анализ
93
Возможные формы, которые могут принимать функции Ламэ L(А), в конечном
итоге проверяются условием, чтобы V обязательно удовлетворяло уравнению
Лапласа. В связи с этим продолжим анализ возможных способов построения
функций Ламэ.
3. Уравнение Лапласа в софокусных координатах
Поскольку поверхности Л, /г, v взаимно ортогональны, квадрат линейного
элемента ds, соответствующего смещению d\, d/i, dv, будет иметь вид1:
f ds2 = hi d\2 + hi dpi2 + dv2, и легко найти, что (X-fi)(X-p)
К =
К =
h\ =
4 (а2 + Л)(62+Л)(с2-(ц - у){ц - X)
4 (а2 + ц)(62+ц)(с2
{v-\){v-n)
¦А)'
ц)
(10)
4 {а2 + v){b2 + и){с2 + и)'
Если определить положительные величины R, А, В и С следующим образом:
R = л/(Х- д)(А - v)(n - и),
А = у/(а2+Л)(62 + Л)(с2+Л),
В = у/-(а2 + ц){Ъ2 + ц)(с2 + ц), С= у/(а2 + ^)(&2 + ^)(с2 + ^),
ТО
(11) (12)
_ цз)
2Ауф - " 2В\/X - v ° 2CVX - ц
В общих ортогональных криволинейных координатах уравнение Лапласа имеет
вид:
д (h-ihz дУ\ , _д_ (hzh\ дУ\ , _д_ (/мЛг 9ЕХ _ q дХ V h\ dXJ дц\ h2 дц)
dv V /13 dv J
hi
R
h2 =
R
Ьз =
R
1 Здесь и ниже величины hi представляют собой известные коэффициенты
Ламэ. - Прим. ред.
94 Глава V
Поскольку А, В, С зависят только от Л, д и v соответственно, то, умножив
