Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
3-|(п + 1) + |(тг-1) = 2п+1.
Эллипсоидальный гармонический анализ 101
Одна функция Ламэ нулевого порядка равна единице (или любой постоянной),
соответствующей решению V = const уравнения Лапласа. Три функции Ламэ
первого порядка
л/Х + а2, л/Х + Ъ2, \/Х + с2
соответствуют гармоническим функциям i j и г.
Пять функций Ламэ второго порядка есть
у/(А + 62)( А + с2), у/(А + с2)(А + а2), у/(А + а2)(А + Ь2)
вместе с двумя функциями
А + -|(а2 + Ь2 + с2) ± ^ \/аА + Ь4 + с4 - Ь2с2 - с2а2 - а2Ъ2.
О О
Первые три относятся соответственно к гармоническим функциям второго
порядка yz, zx и ху, а две последние в своих однородных частях содержат
функции вида j(x2 - у2) + к(х2 - г2), где j и к - некоторые независимые
постоянные.
Семь функций Ламэ третьего порядка: одна равна
У(А + а2)(А + 62)(А + с2),
а шесть оставшихся получаются циклической перестановкой а, b и с в
выражении
У А + а2 (А ¦+| (а2 + 2Ь2 + 2с2) ± | л/а4 + 4Ь4 + 4с4 - 7Ь2с2 - с2а2 -
а262) .
Они соответствуют xyz вместе с шестью многочленами, содержащими члены
третьего порядка и ниже, чьи однородные части составляют шесть
независимых линейных сумм х3 - 3ху2, х3 - 3xz2, у3 - 3yz2, у3 - За'2у, z3
- 3x2z и z3 - 3y2z.
8. Связь многочленов Ламэ со сферическими гармоническими функциями
Перед тем как продолжить доказательство того, что К в уравнениях Ламэ
являются вещественными и различными, рассмотрим аналогию между
многочленами Ламэ, которые предназначены для использования в эллипсоидах,
и обыкновенными сферическими функциями.
102
Глава V
Эта связь является особенно важной в случае со сфероидами, когда а = = Ь
или b = с, поскольку тогда функции Ламэ можно выразить через хорошо
известные функции. Однако в некоторых случаях результаты не могут быть
получены простой подстановкой а = Ь в общие функции Ламэ, и здесь должен
применяться предельный переход.
Пусть переменные в и р вводятся для замены /ihi/, так что
{х = \/А + a2 sin в cos р,
у = л/ X + b2 sin в sin р, (17)
z = л/Х + с2 cos в.
Уравнения (5) показывают, что в и р зависят только от /г и v.
Необходимо отметить, что (в общем случае) эти переменные не
тождественны
углам (9, р обычных сферических координат. Однако они стремятся к ним,
когда Л -> оо, т.к. тогда множители-радикалы в х, у, z из (17) стремятся
к г. Мы уже видели, что Ц и v всегда конечны, ясно также, что при Л = оо
они зависят только от отношений х : у : z.
Многочлен Ламэ, соответствующий определённому нормальному решению на
большом расстоянии от начала коорди-
нат будет с хорошим приближением равен An^2M(fi)N(i/). Но поскольку А ->
г2, последнее выражение всегда будет в точности представлять однородную
часть многочлена Ламэ. Но это есть сферическая гармоническая функция, а
т. к. координаты (9, р стремятся к 0, tp сферических полярных координат,
мы имеем
MN = F(sin(9cos(/3, sin (9 sin <^, cos в),
где F - поверхностная гармоническая сферическая функция от в, р.
Поскольку это есть тождество, оно должно выполняться повсюду, но в, р
становятся обычными полярными углами только на бесконечности; в других
случаях они определяются посредством выражений (17) и не имеют простой
геометрической интерпретации. Поэтому произведение MN, выраженное таким
образом через в, р, всегда принимает вид сферической поверхностной
гармоники. Но хорошо известно, что любая непрерывная функция от в, р
может быть представлена линейной суммой независимых поверхностных
гармоник. Отсюда следует, что любая функция от /г, v может быть выражена
линейной суммой вида
Y,AkMN.
Эллипсоидальный гармонический анализ
103
В общем случае для суммы потребуются гармонические функции всех порядков,
так что в ней должно быть 2п + 1 членов, включающих 2п + 1 гармоник
порядка п: один постоянный член, три члена первого порядка и т.д.
9. Сжатые сфероиды а - Ь
Чтобы рассмотреть форму, которую принимают функции, когда софокусные
квадрики являются поверхностями вращения вокруг оси z, предположим, что b
-л а. Поскольку
ясно, что v не может больше служить в качестве параметра при а = Ь, т. к.
эта координата всегда равняется -а2. Поэтому необходимо ввести третью
координату, чтобы заменить v. Для этой цели из выражений (5) находим
когда а = Ь, т. к. множители (а2-Ь2) сокращаются, а пары множителей,
таких, как Ь2 + Л и а2 + Л, становятся равными (но всё же отличными от
нуля) и тоже сокращаются. Остаются только b2 + v и а2 + v. Отсюда имеем
где р в данном случае является обычным азимутальным углом сферических
полярных координат. Если параметр v заменить на р так, что плоскости,
проходящие через ось z, станут тремя ортогональными семействами, то
получаем v = -a2 sin2 р - b2 cos2 р, а отсюда
Л > -с2 > ц > -Ъ2 > и > -а2,
X'
У
,2
.2
(,Ь2 + Л)(Ь2 + д)(Ъ2 + у) (а2 - Ь2)(а2 - с2) _ Ь2 + у (а2 + Л) (а2 +
д)(а2 + и) (а2 - b2)(b2 - с2) а2 + и
Отметим, что р зависит только от щ а функция от р, заменяющая N в
нормальном решении, получается предельным переходом с учётом
вышеописанных соотношений между р и и.
