Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 26

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 76 >> Следующая

другой стороны, для ряда Якоби величина Н в точке В имеет критическое1
значение. Очевидно, сфероиды можно рассматривать как специальный случай
эллипсоидальных форм, так что существует два ряда эллипсоидальных форм,
пересекающихся в точке В, - это ряды Маклорена и Якоби. Но к
сфероидальным формам относится лишь один из них.
Чтобы обсудить их устойчивость на графике, представим линейный ряд форм
Якоби и будем двигаться, начиная с Н = оо, вдоль него в направлении
уменьшения углового момента, т. е. используем Н в качестве убывающего
параметра. Тогда, во-первых, для достаточно больших Н существуют три
возможные формы равновесия (два эквивалентных эллипсоида и сфероид), но в
конечном итоге параметр достигнет в точке В значения, где dH = 0. На этом
этапе формы с тремя неравными осями исчезают, а для меньшего Н возможна
только сфероидальная форма. Таким образом, система представляет пример
случая (I) из главы II (стр. 24). Поскольку сферическая форма устой-
1И, добавим, минимальное. - Прим ред.
80
Глава IV
Рис. 12. График показывает характерные точки для фигур Якоби и Маклорена.
чива, то ряд Маклорена устойчив на отрезке SB, а на остальной части
прямой он теряет свою устойчивость. Кроме того, поскольку ряд Якоби
появляется при больших значениях Н, то устойчивость передаётся ему. Ряд
Якоби, нанесенный на график, где угловой момент откладывается по
вертикальной оси, поворачивает вверх.
С другой стороны, если бы в качестве параметра была взята и откладывалась
по вертикальной оси угловая скорость, из таблиц I и II следует, что на
графике эллипсоидальный ряд после точки В повернул бы вниз. И если бы
система рассматривалась как развивающаяся вдоль отрезка SB ряда Маклорена
по направлению возрастающей уг-
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
81
ловой скорости, то эллипсоидальные формы не смогли бы возникнуть, и в
этом смысле ряд Якоби является неустойчивым.
8. Аналитическое доказательство устойчивости при эллипсоидальных
смещениях
Предыдущее исследование вековой устойчивости при деформациях
определённого типа было основано на рассуждениях Джинса. Простое
аналитическое доказательство при тех же ограничениях на деформацию было
получено Лэмбом (Lamb). Общая линия его рассуждения была правильной, но
осталась незавершенной из-за отсутствия доказательств в некоторых
пунктах. Ниже мы проведем более полное исследование.
тт2
Для существования вековой устойчивости функция V + =
= f(a, Ь) должна быть абсолютным минимумом при эллипсоидальных
деформациях с фиксированным угловым моментом. Из формулы (5) имеем
и в силу abc = г3 это выражение можно рассматривать только как функцию от
а и Ъ.
При любых Н эта функция имеет следующие значения в указанных точках:
при а = оо /(ос, Ь) = О, при b = оо /(а, оо) = О, при а = b = О /(0, 0) =
оо.
Кроме того, /(а, Ъ) должна всегда превышать конечное отрицательное
значение первого члена, соответствующего сферической форме. Также, если а
= 0 при Ьс = оо, то
ОО
/(а, Ь) = - yjr7r2Gp2r6
/
vV+A)(&2 + A)(c2+A) + 2М(а2 + Ъ2) '
d\ , 5 Я2
О
оо
О
откуда
82
Глава IV
и, аналогично, если Ь = 0, то
р/ п\ ЪН2 -2
/(a'0) = Wa •
Теперь надо доказать, что когда а2 + Ь2 -> оо, /(а, Ь) стремится к нулю
через отрицательные значения при условии, что ни а, ни Ъ не исчезают.
Действительно, допустим, что а = re-1, b = re~1+s, так что с = ге2~а, где
0 < s < 1; следовательно, при е -л 0 будет с -> О, а о, Ь-> оо. Тогда,
опуская постоянный множитель, гравитационный член приобретает следующий
вид:
ОО
[ d\
\J{r2e 2 + X)(r2e 2+2s + A)(r2e4~2s + Л) к
= - lim
e2"s dX
к^со J -у/(r2 + e2\)(r2 + ?2~2s\)(r%4~2s + Л)
Теперь предположим, что ЛГ = s~k, где k > 0, так что К -л оо, когда ? -о-
0, и что ЛГе2 л 0 и Ке2~28 -л 0. Для этого требуется, чтобы к < 2 и 0 < 2
- 2s - к. Тогда членами знаменателя, включающими в себя е, можно
пренебречь, и интеграл записывается в следующей форме:
к
-lim [ g2~S dX = - lim2e2-sVKr-2 = -0(e2~s~^k).
J r2\f\ '
0
Второй член в /(a, 6), очевидно, является 0(s2). Отсюда отрицательный
гравитационный член будет преобладать на бесконечности при условии, что
2 - s - < 2.
Поскольку это выполняется для s ^ 0, данная функция приближается к
бесконечному кругу снизу, исключая точки на осях a = О, Ь = 0. Теперь
вековая устойчивость может быть установлена следующим образом.
Случай (I). Если Н < 0,304л/СМ3/2л/г = Нс, то из таблиц I и II можно
увидеть, что существует только одна возможная форма равновесия - сфероид
Маклорена. Отсюда критическое значение f(a, Ъ)
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
83
Рис. 13. Случай (I) Н < 0,304, случай (II) Н > 0,304. Точка М в плоскости
а = Ь, представляющей форму Маклорена, является минимумом для смещений в
данной плоскости и максимумом для смещений, перпендикулярных ей.
Абсолютный минимум J± (а ф Ь) и вторая симметричная точка J2 вместе
задают две устойчивые формы Якоби.
должно возникать для точки, когда а = Ъ. Следовательно, если даны
прямоугольные координаты с горизонтальными осями а, Ъ и вертикальной /,
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed