Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
PP(cos0){cospy3 + гэтруз} = Р"(!) j{sin#(cos уз + isinyj)}p =
= (многочлен по cos (9) х [х + гу)р,
опуская постоянные множители, которые не имеют отношения к тем особым
случаям, которые мы сейчас рассмотрим.
108 Глава V
(a) Случай, когда р - чётное.
Решение, содержащее cos pip, является вещественной частью слева в данном
уравнении, что требует оставить справа в уравнении вещественную часть от
(х + iy)p. Конкретно для этого случая мы имеем
Re(a; + гу)р = хр - с\хр~2у2 + С2Хр~4у4 - ... =
2 2
= рациональный многочлен по х ну,
где коэффициенты сг обозначают постоянные. Следовательно, решение вида
V(х2, у2, z2) при а = Ь будет соответствовать чётному значению р и N
заменяется на cosрр (см. 1 строку в таблице IV).
С другой стороны, очевидно, что smpp требует мнимой части (х + + гу)р, и
мы имеем
Im(x + iy)p = рхр~4у - ... ± рхур~х =
= операциональный многочлен по а;2 и у2).
Поэтому решение, первоначально имеющее вид xyF(x2, у2, г2), будет
соответствовать чётному р и функции sinp^ для N. (Это показано в строке 7
таблицы IV).
(b) Случай, когда р - нечётное.
Решение, содержащее cos рр, снова требует вещественности справа, но
теперь уже
Re(a; + гу)р = х(хр~г - cixp~3y2 + ...) =
= ^(рациональный многочлен по а;2 и у2).
Отсюда решение вида xF(x2, у2, г2) будет соответствовать нечётному
значению р и cos рр для N (2 строка в таблице IV).
Аналогично
Im(x + iy)p = у(рациональный многочлен по а;2 и у2),
а следовательно, решение вида yF(x2, у2, г2) требует нечётного р и
значения sinpy? для функции N.
Наконец, поскольку z зависит только от в, наличие или отсутствие z в
качестве множителя полиномиального решения никак не повлияет на
полученные ранее результаты. Это значит, что решение вида zF имеет такое
же (чётное или нечётное) значение р и функцию
Эллипсоидальный гармонический анализ
Таблица IV.
109
Форма общего многочлена Ламэ Форма общей L: /(А) рациональное a = b
P N
Fix2, у2, z2) /(A) чётное COS pip
xF \/A + a2f( A) нечётное COS pep
yF y/X + b2f{\) нечётное sin pep
zF \/A + c2/(A) чётное COS pif
yzF V^A + b2)(X + c2)/(A) нечётное sin pep
zxF \/(A + c2)(A + o?)f (A) нечётное COS pif
xyF V^(A + a2) (A + b2)f( A) чётное sin pep
xyzF V^(A + a2) (A + b2)(X + c2)/(A) чётное sinpp
для N, какими обладает решение вида F. Таким образом, при а = Ъ можно
разместить в таблице восемь возможных форм эллипсоидальных гармонических
функций.
12. Гармоники первого и второго порядка при а - Ь
Когда а = Ь, имеем (опуская постоянные множители)
х ос у/(а2 + Л) (а2 + р)\ а9 = у/(а2 + Л) (а2 + д) cos ip,
у а -Ь
У ос у/(а2 + Л) (а2 + ц)а / ^ + ^ = у/(а2 + Л) (а2 + ц) sin уз, у а - о
z ос V7(с2 + А)(с2 + д),
т. к. г/ = -а2 и предельный переход не требуется.
В качестве примеров вышеописанной теории приведем гармонические функции
первого и второго порядка, когда а = Ъ.
(I) Три гармоники первого порядка.
Здесь п = 1, поэтому имеем
L = (1 + t2)p/2Dp+1(1 + t2) (р = 0, 1),
110
Глава V
где
2 с2 + Л Т =^^'
Если р = 0: L = D( 1 + т2) = т = \/с2 + А, опуская постоянные множители.
Тогда функция LMN сводится к у/(с2 + Л) (с2 + д), что соответствует
эллипсоидальной гармонической функции г.
Если р = 1: L = y/l + t2D2( 1 + т2) = \/1 + т2 = у/а2 + Л.
Теперь функция LMN может принимать одну из форм
у/(а2 + Л) (а2 + д)
В предшествующей таблице вторая строка показывает, что первая из этих
форм соответствует гармонической функции х, а третья строка показывает,
что вторая форма соответствует у.
(II) Пять гармоник второго порядка.
Здесь п = 2, и для общего вида L мы имеем
L = { 1 + T2)p/2Dp+2{ 1 + т2)2 (р = 0, 1, 2).
Если р = 0: L = D2{ 1 + т2)2 = 1 + Зт2 = а2 + 2с2 + ЗА, где постоянные
множители опущены. Отсюда решение LMN равно (ЗА + а2 + 2с2)(Зд + + а2 +
2с2).
Соответствующую гармоническую функцию от х, у, z легко найти, т.к. An/i
являются корнями уравнения
х2 + у2 z2 = ,
а2 + А с2 + А
так что
V22 2/2, 2\ 22
= а с - с (х + у ) - a z ,
\ 2 I 2 I 2 2 2
А + у = х + у + z - а - с .
Поэтому в прямоугольных координатах решением будет
3(а2 + 2с2)(я;2 + у2 + z2) - 9c2(a;2 + у2) - 9 a2z2+
+ 9а2с2 - 3(а2 + 2с2)(а2 + с2) + (а2 + 2с2)2.
Постоянная часть здесь может быть отброшена, а остаток, как легко видеть,
есть j{х2 - у2) + k(x2 - z2), где j и к - константы.
Эллипсоидальный гармонический анализ
111
Еслир = 1: L = vTTt2D3(1+t2)2 = rs/l+Ё2 = ^(а2 + Л)(с2 + Л).
В шестой строке таблицы IV показано, что решение со множителем cos р даёт
гармоническую функцию xz второго порядка, а строка 5 показывает, что
решение с множителем sin^ даёт yz.
Если р = 2: L = (1 + r2)Di( 1 + т2)2 = 1 + т2 = а2 + Л. Следовательно,
решения LMN даются выражениями (а2 + А)(а2 + м) sin2^, отвечающие х2 - у2
(1 строка в таблице IV) и ху (7 строка).
Эти результаты можно сравнить с ранее полученными на стр. 100. Очевидно,
эти решения, выраженные через х, у, z должны сводиться к обычным
сферическим функциям, но важность настоящего анализа заключается в том,
что он позволяет нам найти частные линейные суммы, соответствующие
