Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
эллипсоиду в общем случае и определённым сфероидам в случаях, когда а = b
и b = с.
13. Все значения К являются вещественными и различными
Установив форму функций Ламэ в случаях со сфероидами, мы вернемся к
вопросу о значениях, которые К принимает в общем случае (а > Ъ > с),
чтобы представить решение Ламэ в виде многочлена, умноженного на 0, 1, 2
или 3 множителей-радикалов.
Сначала, предположив, что а = Ь, мы увидели, что v необходимо заменить на
ip, соотносящееся с v следующим образом:
Следовательно, решение LMN есть
у/(а2 + А) (с2 + А) (а2 + д)(с2 + д) . р.
v
a2 sin2 ip - b2 cos2 p.
В общей форме уравнение для функции N выглядит так:
Теперь
С2 = (а2 + v)(b2 + v)(c2 + v)
2
l2\2 '2 2 / 2 I \
о ) sin ip cos ip (c + v),
так что
С = i(a2 - b2) sin ip cos <p\Jc2 + v.
112
Глава V
(а2 - с2)^ + {п(п + 1)а2 + 4K}N = 0.
Также
dv = -2(а2 - Ь2) sin р cos р dp,
а отсюда
и уравнением для N, когда p - независимая переменная, является
-(с2 + и)<Щ- - = 4{Hu + K)N.
dp 2 dp dp
Если теперь допустить, что b -> а, то в пределе v = -а2 и = 0, так что
уравнение для N сводится к
,2 "2\id2N , , ^"2
dp2
Согласно исследованиям в предыдущих разделах, необходимо, чтобы ему
удовлетворяли по очереди следующие два условия:
N=C°Sp(fi (р = 0, sin рр
Соответственно мы должны иметь
п(п + 1)а2 + 4К = р2(а2 - с2) или 4К = р2(а2 - с2) - п(п + 1)а2.
Таким образом видно, что при а = Ъ уравнение, дающее значения К, должно
иметь п + 1 корней, соответствующих р = 0, 1, 2, ..., п, которые,
очевидно, все являются вещественными и разными. Причём корни,
соответствующие нечётным значениям р, чередуются с теми, которые
соответствуют чётным значениям (12).
Теперь можно легко доказать, что в общем случае, когда а ф Ь,
предшествующий результат остаётся в силе, так что для функций Ламэ любого
типа данного порядка п все величины К являются вещественными и различными
и разделяют функции, соответствующие любому другому типу того же порядка.
Чтобы показать это, сначала рассмотрим случай, когда п - чётное. Мы уже
видели, что при а = b существует п+ 1 значений К. Из таблицы IV видно,
что при чётных р (0, 2, ...) общие решения (а ^ Ь) имеют вид
ДА) и \/(А + а2)(А + 62)/(Л),
Эллипсоидальный гармонический анализ
113
в то время как при нечётных р (1, 3, ...) общие решения таковы: у/(А +
62)(А + с2)/(А) и д/(А + с2)(А + а2)/(А),
где /(А), как обычно, обозначает многочлен от А. В случае, когда а = = Ъ,
корни для К при чётных значениях р чередуются с корнями при нечётных
значениях1. Предполагая теперь, что а ф Ь, вышеописанное свойство может
перестать выполняться, только если на каком-нибудь этапе корень К,
соответствующий функции первой группы
/(А) или у/ (А + а2)(А + 62)/( А),
станет равным корню К, соответствующему функции второй группы
^(А + 62)(А + с2)/(А) или у/(А + а2)(А + с2)/(А).
Теперь можно доказать, что этого произойти не может. Пойдем от
противного. Пусть для одного и того же К есть две функции L\ и L2. Тогда,
если и определяется соотношением
d\ = -2\J(А + а2)(А + 62)(А + с2) du,
то уравнение Ламэ для них можно будет записать в следующем виде:
+ (ял + = °>
duz
+ (ЯЛ + Я)^2 = °-
duz
Отсюда обычным путём (штрих обозначает дифференцирование по и) имеем
L'{L2 - 1 = 0.
Одно интегрирование даёт
Ь[Ь2 - L'2Li = const = С
или
А(^1) = с_
du\L2J L\'
1См. комментарий (12). - Прим. ред
114
Глава V
Возвращаясь к Л, имеем
-2л/(А + а2)( Л + Ь2)(Х + (26)
Покажем, что это уравнение выполняется только при С = 0.
Во-первых, видно, что какую бы форму ни имело L2, его квадрат будет
рациональным. В очевидных обозначениях возможной
формой для будет функция
L2 Л( А)
у/(Л + 62)(Л + С2)
а её дифференцирование по Л не может ввести в качестве множителя радикал
\/А + а2. Но левая часть уравнения (26) содержит %/А + а2, следовательно,
уравнение выполняется только при С = 0. В этом случае оно сводится к
j
L' = ku-
То же самое условие выполняется в каждом из оставшихся вариантов
для Но две функции L относятся к существенно разным видам и -02
не могут иметь постоянного отношения. Следовательно, первоначальное
предположение ложно и их значения К (для и L2, Б. К.) не могут быть
равными; поэтому значения К, соответствующие одному виду, всегда должны
отделяться от тех, которые относятся к другим видам того же порядка.
Отсюда также следует, что только вещественные значения К являются
возможными, поскольку когда b меняется, два вещественных значения должны
стать равными до того, как могут появиться комплексные или мнимые корни.
В целом, предшествующее доказательство точно таким же образом применяется
к нечётному п с учётом функций, указанных в таблице IV.
Поэтому можно сделать вывод, что для функций данного вида и порядка при а
> Ъ > с все корни общего уравнения для К являются вещественными и
различными.
14. Линейная независимость 2n + 1 функций Ламэ данного порядка
Функции Ламэ порядка п удовлетворяют следующему уравнению
А2Щ- + 4т - 1п(п + г)ь = KL>
d\2 d\ d\ 4 v '
