Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
ямы, при которых появляется связанное состояние. С этой точки зрения
ближняя пуассоновская область существует лишь в том случае, когда яма,
созданная отдельной примесью, слишком мала (/<^1) и не содержит
дискретного уровня. Однако скопление большого числа ("1^2/-1) таких ям
образует флуктуационную яму нужной для появления уровня глубины. Формула
(16.13) соответствует таким флуктуациям, у которых число примесей лишь
незначительно превышает критическое значение 2/"1, и поэтому появившийся
уровень "поджат" (по сравнению с глубиной ямы) к краю непрерывного
спектра.
Величина щ - - 1ц (0)/Мф (0), вычисленная с помощью волновой функции
основного состояния
оказывается порядка единицы, а поправки к "а не дают существенного вклада
в Ф (Е). Поэтому для плотности состояний получаем
Заметим, что в трехмерном случае возможность реализации асимптотики
(16.14) в ближней пуассоновской области связана с су-
?0 - - (2/* о)-3 [(1 4-4/"!>1/г -З]2, /ч sh (г/г0) _ , ^
и, _ т 1
(16.12)
u1 = 2J~1 + 3\E\'/* r0J~K
(16.13)
- In р (Е) ~ Ф (Е) = - J'1 In (cJ) (2 + 31Е I1/. r0), (16.14)
У<(|?ИГ/^1, CJ<^ 1, |1п(сУ)|>1.
211
щественно менее жестким, по сравнению с одномерным случаем
(16.11), ограничением на концентрацию.
16-2. Сингулярные потенциалы примесей (квантовое рассмотрение). До сих
пор в этом параграфе мы ограничивались гладкими в нуле потенциалами и{г).
Перейдем теперь к рассмотрению сингулярных случаев. Прежде всего отметим,
что в случае гладких потенциалов наиболее существенным моментом в схеме,
изложенной выше, являлось использование уравнения Шредингера
(16.5) с потенциалом, пропорциональным и(г). В сингулярном случае мы уже
не можем оправдать сведение задачи к уравнению
(16.5), оставаясь в рамках того же подхода, что и для гладких
потенциалов. Дело в том, что поправочные члены, содержащиеся в уравнении
(16.4), становятся более сингулярными, чем основное слагаемое "^(г), и
поэтому наличие малых множителей в них не является достаточным основанием
для того, чтобы ими пренебречь. Однако в § 18, исходя из Других
соображений, мы увидим, что экстремальная волновая функция ф0 (г)
действительно удовлетворяет уравнению (16.5). Этот факт позволяет
применить в сингулярном случае следующую схему вычислений. Вначале из
(16.1) вычислим 1п?ф(/), где в качестве волновой функции ф(г)
фигурирует нормированное, зависящее от параметра ult решение уравнения
(16.5) с данным сингулярным потенциалом или(т), соответствующее основному
состоянию. Затем с помощью преобразования Лежандра (14.12) получим Q(",
щ), после чего согласно
(14.9) определим плотность состояний, причем минимум в (14.9)
необходимо теперь брать по вариационному параметру и,х.
В качестве первого применения такой схемы рассмотрим асимптотику
плотности состояний в трехмерной системе, когда и (г) - экранированный
кулоновский потенциал:
и (г) ----е~г/г*.
w ГГо
Интересующая нас область спектра соответствует большим значениям
параметра ^^>1, для которых экранировкой при вычислении волновой функции
можно пренебречь (подробнее см. конец § 18), так что она может быть
записана в форме
ф (г) я-1/* (щ/Го)3/* ехр (- ПхГ/Го).
Такая волновая функция приводит к выражению для ?2 вида
^(F гг ^ ы1"Ы Е I r\ 1 "1 ("1 +1 Е | Го)
У (?,"!) =-----2^---1п-------с-----'
минимизируя которое по их получаем
Ф (Е) = |\Е го In . (16.15)
Эта формула получена в [125, 126]. В [126] продемонстрированы возможности
ее использования для нахождения коэффициента
212
межзонного поглощения света в сильно легированных полупроводниках.
Пределы применимости формулы (16.15) определяются неравенствами
|?|г?>1, ^|?|г§>1,
Рассмотрим теперь одномерную задачу с потенциалом и (х) = = - k08(x), для
которого соответствующее решение уравнения
(16.5) таково:
Ф (*) = (7a"A)1/г ехР (-7"" А | * |)-В этом случае для Q (?, их) приходим
к выражению
Q (?, щ) = Щ ,
откуда
Ф(?) = 2|?|'/.?0-Мп-Щ-, (16.16)
|?|?"-2>1, In (| ? \/ckl) 1.
Этот результат после соответствующих переобозначений совпадает с формулой
(6.85) из гл. II. Однако, в отличие от последней, он получен без всяких
дополнительных предположений о величине концентрации с.
В случае гладкого потенциала "(г) величина г0 во всех формулах до (16.14)
включительно обозначала истинный радиус действия потенциала. В
сингулярных же случаях (16.15) и (16.16) г0 есть просто некий параметр
размерности длины, характеризующий потенциал и (г), истинная ширина
которого в одномерном случае точно равна нулю. Поэтому на энергетической
шкале асимптотики (16.11) и (16.16) могут появляться в одной и той же
области энергий. Это, в свою очередь, означает, что плотность состояний
для истинно финитного потенциала и для быстро (экспоненциально!)
убывающего потенциала ведет себя по-разному, отличаясь- степенью энергии,
стоящей под знаком логарифма. Такую разницу в поведении Ф (Е) для случаев
финитного и короткодействующего потенциалов легко понять, рассмотрев
одномерную систему, в которой в качестве потенциала фигурирует
