Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
прямоугольная яма шириной г0 и глубиной Jr^2 (/<^1). В предельном случае
cJ 1, [In (cJ) | 1 приходим к следующим ре-
зультатам. В области энергий Е таких, что cJ<^\E\rl<^l\n~\cJ), минимум в
формуле (14.12) реализуется при не слишком больших .значениях t. Основной
вклад в интеграл (16.1) при этом дают экспоненциальные хвосты волновой
функции, т. е. классически недоступная область, и в результате плотность
состояний имеет такой же вид:
-In р (?) = Ф (?) = 1пЦ&.
213
как и для 6-функционного потенциала. В области же больших энергий: In-2
(cJ) <^| Е | /о<^ 1, соответствующей большим t, основную роль играет
гладкое ядро волновой функции, что в конечном счете приводит снова к
асимптотике (16.11).
Отметим в заключение, что результаты (16.15) и (16.16) для сингулярных
потенциалов можно было бы предсказать заранее с помощью соображений § 15
(см. текст перед формулой (15.7)), т. е., по существу, путем анализа
размерностей. (Мы имеем в виду при этом выяснение зависимости Ф (Е) от
энергии, ни в коей мере не претендуя на получение правильных численных
коэффициентов.) Будем исходить из формулы (16.6) для гладкого случая,
записав ее в более удобном для дальнейшего виде:
И (°) и (0) пг% *
Желая получить асимптотику плотности состояний (16.15) в трехмерной
задаче с экранированным кулоновским потенциалом, перепишем эту формулу
иначе:
Ф-(Е) = i?iv,(igi'S)v; in Ш!
^ ' и Ю) |гп и /т г.п I
I " (0) iro и (0) г0п | Е \ rl *
Кулоновскому потенциалу соответствует предельный переход "(0)-^оо, г0-+0>
| и (0) | г0 -* const. В допредельной ситуации \E\r\ ~1, обозначая новый
параметр размерности длины (| и (0) | г0)-1 опять буквой г0, получаем
(16.15). Аналогичные преобразования в одномерном случае приводят к
(16.16).
§ 17. Системы с конечной флуктуационной границей
17.1. Схема вычисления плотности состояний. Рассмотрим теперь системы, в
которых случайный потенциал ограничен снизу (например, (2.4) в случае
отталкивающих примесей, когда и (г) ^ 0). Тогда истинная граница Ягр
находится на конечном расстоянии. Как и в случае Ягр =-оо, здесь, чтобы
обеспечить появление уровней, близких к Ягр, потенциал должен в
достаточно больших объемах быть близок к своему минимальному значению. Но
так как теперь это значение конечно, то флуктуации, приводящие к
появлению спектра в окрестности истинной границы, должны иметь вид
широких ям максимально возможной глубины, разделенных областями, где
потенциал принимает большие значения. Например, в § 7 мы видели, что в
случайном потенциале, представляющем собой последовательность
прямоугольных барьеров, плотность состояний в окрестности истинной
границы (Ягр -0) определяется вероятностью появления достаточно длинных
участков нулевого потенциала. Такие реализации являются, как и в
предыдущем случае, весьма нетипичными и потому маловероятными. Ширина
флуктуационных ям в них согласно соотношению неоп-
214
ределенностей должна быть порядка \Е - ?гр|_1/*, и именно она играет
теперь роль большого параметра, обеспечивающего малую вероятность таких
флуктуаций, а следовательно, и остроту максимума подынтегрального
выражения в (14.3) и (14.7). Поэтому формула (14.9) справедлива и в
случае, когда истинная граница находится на конечном расстоянии Ягр> -
оо. Что же касается схемы вычисления Ф(?), изложенной в § 14, то ее
целесообразно несколько модифицировать.
Будем отсчитывать энергию от истинной границы (?гр - 0) и введем
преобразование Лапласа р(?) плотности состояний
оо
p(0 = Sp(?) е~ЕЧЕ.
о
При t -> + оо основной вклад в интеграл дает окрестность границы, где
плотность состояний экспоненциально мала. Поэтому с логарифмической
точностью можно написать
- In р (t) = min (Et -f Ф (?)). (17.1)
E
С одной стороны, отсюда следует, что - In р (t) и Ф (?) связаны
преобразованием Лежандра, обращая которое получаем
Ф(?) = тах(-Et-1пр(/)). (17.2)
t
С другой стороны, согласно (14.9) соотношение (17.1) при малых энергиях
может быть записано в виде
- lnp(?) = min + min ?2 (v2? -7\),; [ф])^,
откуда, переходя к нормированным (v2=l) функциям ф, после несложных
преобразований с помощью (14.11) имеем
-lnp(/) = min (tTy - In kф (*)).
¦ф
Наконец, подставляя это выражение в (17.2), получаем основную формулу
настоящего параграфа для вычисления плотности состояний:
-In р (Е) =:Ф (?) ="шах |"- Et+ min (tT$~ln^(^))J. (17.3)
Таким образом, для вычисления Ф(Е) необходимо сначала с помощью (14.13)
получить k$(t), после чего дальнейшие действия непосредственно
предписываются формулой (17.3). Прежде чем переходить к конкретным
вычислениям, обсудим преимущества такой схемы вычисления плотности
состояний. Как уже отмечалось ранее, состояния, близкие к истинной
границе ?гр=0, реализуются как основные состояния на флуктуациях, для
которых потенциал в достаточно большом объеме близок к своему
минимальному значению. По мере стремления энергии к ?гр характерные
215
размеры этого объема растут, а вероятность обнаружения частицы в
