Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
В § 17 рассмотрены случайные потенциалы, у которых истинная граница
находится на конечном расстоянии: ?гр > - оо. Результаты §§ 15-17
позволяют разделить участки флуктуационной области на два класса в
зависимости от того, велик или мал характерный размер квантового
состояния, реализующего спектр на этом участке, по сравнению со средним
расстоянием между примесями на флуктуации. Для вычисления Ф(?) на
участках спектра, принадлежащих к первому из этих классов, может быть
развит иной по сравнению с §§ 15-17 метод, основанный на макроскопическом
описании флуктуаций потенциала. Этот метод и примеры его применения
изложены в § 18. В § 19 проанализированы возможные виды асимптотического
поведения плотности состояний для ряда наи-
196
более часто встречающихся моделей во флуктуационной области спектра. В §
20 рассмотрена простая одномерная модель-"модель кусочков", в которой
асимптотические формулы для плотности состояний во флуктуационной области
спектра оказываются точными. Кроме того, в этой модели можно вычислить
корреляционную функцию рх (х\ Е) из (4.6) и проводимость (1.32), в
частности, найти асимптотики проводимости в области малых и больших
частот, которые оказываются совсем не такими, как полученные в § 13. В
конце §20 на основании рассмотрения этой простой модели обсуждается
качественная картина спектра во флуктуационной области. Наконец, в § 21
показано, как некоторые из установленных в предыдущих параграфах
результатов могут быть получены на математическом уровне строгости.
§ 14. Общая схема вычисления плотности состояний и волновых функций в
окрестности бесконечно удаленной флуктуационной границы
Рассмотрим сначала задачу о вычислении плотности состояний при достаточно
больших по модулю отрицательных значениях энергии Е *) в системе со
случайным потенциалом, для которого ЕГ9 = -оо. Для того чтобы в
окрестности такой точки Е имелся спектр, необходимо, чтобы в кристалле
существовало много областей, в которых потенциал принимает отрицательные
и большие по модулю значения (по крайней мере порядка | Е |). Но так как
в силу макроскопической однородности
U(г) dr := Z7,
v
где V-объем системы, то указанные области, содержащие большие
отрицательные флуктуации потенциала, должны быть удалены друг от друга на
расстояния, существенно большие, чем их собственные размеры. Таким
образом, типичные реализации, ответственные за возникновение спектра в
этой области энергий, должны иметь вид достаточно глубоких ям,
разделенных областями, где потенциал принимает свои типичные значения ~U±
±V<{/">-Z7a.
Такой вид типичных реализаций позволяет при вычислении плотности
состояний рассматривать независимо вклады от каждого объема, содержащего
одну достаточно большую отрицательную флуктуацию случайного потенциала
[4]. Эффекты границ, появляющиеся при разбиении всей системы на такие
объемы, будут пренебрежимо малы, по крайней мере с логарифмической
точностью, с которой мы вычисляем плотность состояний. Поэтому
*) Эти слова в настоящей главе, по существу, выделяют область энергий,
для которой Ф (?) к - In р (Е) 1.
197
в интересующей нас области энергий Е~ЕТр
Р^НуР/^). (14-1)
I
где Vt-объем части, содержащей одну отрицательную флуктуацию необходимой
амплитуды, а р,-(?)-плотность состояний уравнения Шредингера в таком
объеме. В силу нетипичности подобных флуктуаций вероятность их появления
должна зависеть от амплитуды флуктуации весьма резко. Поэтому флуктуация
в объеме для которой уровень Е оказался бы не первым, а, скажем, вторым
или третьим, гораздо менее вероятна, чем та, для которой Ez=EQi> где Eoi-
энергия основного состояния уравнения Шредингера в объеме VСледовательно,
функцию р,- (?) можно в рассматриваемой области энергий заменить на У^б
(E-Eoi). Учитывая теперь самоусредняемость р(?), по причине которой в
соотношении (14.1) можно перейти к средним значениям, получим, что
р^)"^1 <6 (?-?")>. (14.2)
где У0-величина характерного объема, содержащего одну флуктуацию, а Е0-
энергия основного состояния в этом объеме. Более подробно формула (14.2)
может быть записана в виде
р(E)&V? J (r){/(г)ехр(-2[{/])8(Е-Я,[1/]), (14.3)
где ехр(-2[?/])-функционал плотности вероятностей реализации U случайного
потенциала, a E0[U]-энергия основного состояния в этой реализации.
Отмечавшаяся выше маловероятность флуктуаций, приводящих к появлению
спектра в области Е -*--оо, означает, что функционал 2[?/] на этих
флуктуациях принимает очень большие положительные значения (большие в
меру величины амплитуды флуктуаций или, что то же самое, величины J Е j).
Поэтому значение интеграла в правой части (14.3) в основном определяется
вкладом от наиболее вероятной флуктуации, имеющей основной уровень Е,
откуда *)
- lnp(?) -min2[t/]| t О4-4)
и |?0ГУ]=?
или
- In р (Е) = min (2 [У]-р?+Р?" [?/]),
где р-лагранжев множитель. Далее, согласно вариационному принципу [47,
116]
Е0 [U] ^ min <ф | Н | ф> - min (7\, + [/*),
*) Мы не принимаем во внимание множитель Vo1 в формуле (14.3), поскольку
