Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 88

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 145 >> Следующая

классически недоступной области стремится к нулю. Эти соображения
существенно облегчают отыскание минимума по ф в
(17.3), позволяя воспользоваться прямым вариационным методом, выбрав в
качестве класса пробных функций финитные функции, обращающиеся в нуль вне
объема, занятого флуктуацией.
17.2. Отталкивающие примеси. Рассмотрим сначала наиболее простой случай
пуассоновского потенциала (2.4), порожденного отталкивающими примесями и
(г) > 0 с конечным, для простоты, радиусом действия: и(г) = 0 для г > г0
(в § 21 будет показано, что получаемая ниже формула (17.5) верна уже в
том случае, когда ц(г) при г-уоо убывает быстрее, чем r~<d+2>). Для
плотности состояний имеем формулу (17.3), в которой ln^^,(/) определяется
выражением (15.10):
- In ky (t) = п J [l -exp [- t J w(r-гОФ*^^]} dr.
Пробную функцию выберем в виде ф(г) = R~d/2y? (r/R), где'Ф'(х)-
нормированная на единицу (j?2(x)dx = l) финитная функция. (По поводу
сферической симметрии пробных функций см. § 21.) Вариационными
параметрами при таком выборе являются характерный радиус финитности R и
форма пробной функции \Р (х). В области малых энергий, примыкающей к
истинной границе, максимум по / в (17.3) реализуется при больших
значениях /, для которых интеграл в правой части равен просто соdRd (<orf
- объем d-мерного единичного шара), и практически не зависит от формы
пробной функции Т (я). Поэтому для минимума в (17.3) получаем
min + п $[1 - ехр (- (г))] dr} =
= min min \ 1 у^Ч*)\*dx-\-tia>dRa) =min(tedR~2-\-n(adRd),
R vw 4 xii R
где ed-энергия основного состояния в d-мерной потенциальной яме
единичного радиуса с .бесконечно высокими стенками. Чтобы найти
асимптотику плотности состояний, нет необходимости в дальнейших
вычислениях. Достаточно сделать замену переменной бdR~2 = ?, после чего
формула (17.3) для рассматриваемого случая принимает вид
Ф (?) - max Г - Et-f min (<Rt -}- (17.4)
Отсюда следует, что при Е -"- 0
Ф (Е) =~таг$лЕ-*'*, (r)d = л^а/Г (d/2+1) (17.5)
так как согласно (17.4) Ф (Е) получается из функции rmdzdJ2S~dIZ путем
двукратного применения преобразования Лежандра, после
216
чего исходная функция переходит в самое себя. Из (17.5) в одномерном
случае получаем, в соответствии с (6.44), (6.77), выражение
<D(?) = jt//j/fT,
где / = - среднее расстояние между примесями.
17.3. Решеточный газ притягивающих примесей. Другим примером системы, у
которой истинная граница конечна, является частица в случайном потенциале
(2.4), порожденном притягивающими (и (г) < 0) примесями, образующими
решеточный газ. Это означает, что точки гу образуют правильную решетку с
некоторой постоянной а, причем примесь находится или отсутствует в точке
Гу с вероятностью р или 1-р соответственно. Область энергий, примыкающую
к истинной границе, для систем с такой статистикой случайного потенциала
естественно назвать фермие-вским участком спектра. Функционал k^(t)
теперь имеет вид
In (t) - 2 In [1 - р + Р ехр (- (гу))]. (17.6)
/
Выбирая, как и в предыдущем случае, в качестве пробной функции финитную
функцию вида ф (г) = R~d/2 Y (r/R), получаем
Ink$(t)&-t ? Мгу) + со* (4)rflnp. (17.7)
|Гу|<Я ^ /
Последнее соотношение вместе с (17.3) приводит к следующему выражению для
плотности состояний:
Ф (Е) = '
=max |-?<+mb[^(5)4lnp+(min(r,-?.+|rSRMry))]},
(17.8)
где ?0-энергия основного состояния в периодическом [потенциале
2М(Г~Г/)- Внутренний минимум в этом выражении берет-
i
ся по форме пробной функции ЧГ (х) и равен, очевидно, разности между
энергией E0(R) основного состояния для потенциала 2 и (г-Гу) в шаре
радиуса R и энергией основного состояния Е0
в бесконечном объеме.
Ясно, что при вычислении этой величины можно пользоваться приближением
эффективной массы, а тогда
?о№ E0>=2m*R* '
где т* -эффективная масса, отвечающая периодическому потенциалу 2м (г -
г/). Поэтому вместо (17.8) можем написать, что
Ф (?) = шах {- Et + mm ^ о^?*] ) ,
217
откуда, так же как и в случае (17.5) следует, чтс
Ф№) -1(1Г.Ъ)
Сравнивая (17.9) с (17.5), видим, что первая из этих формул переходит во
вторую, если положить -In р - паа и т*~ 1/2. Это совпадение вполне
естественно, поскольку в дискретном случае величина - ln/?/ad, очевидно,
играет роль плотности точек гу, и, как было указано в предисловии, мы
используем систему единиц, в которой масса квазичастицы считается равной
1/2.
Формулы (17.5) и (17.9) впервые были получены в [4], а затем в [138].
Одномерный вариант (17.5) уже появлялся в §§ 6, 7, где, в частности, был
вычислен и соответствующий предэкс-поненциальный множитель. По поводу
следующих членов асимптотики Ф(?) в многомерном случае см. [135, 139].
Пределы применимости (17.9) вытекают из использованного при переходе от
(17.6) к (17.9) условия (г)|^>|1пр|, где ф0(г)-экстремальная волновая
функция, а - значение параметра t, на котором достигается максимум в
(17.8). Выделяя явную зависимость об энергии входящих в написанное
неравенство величин, получаем, что
d+3
(\E\/rl) 2 <<gIJ\n-'(I/c), где / = (f0la)d - параметр допустимого
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed