Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(18.15), при |?|-> оо последнее неравенство действительно выполняется,
так как т In (21Е \[сЩ). Тем самым обоснована применимость в этом случае
уравнения (16.5) и, следовательно, справедливость асимптотики (16.16).
Перейдем теперь к случаю кулоновского потенциала и (г) = = - 2 (/у)"1- Мы
пренебрегаем экранировкой, интересуясь достаточно глубокими уровнями, для
которых радиус волновой функции Гф мал по сравнению с радиусом
экранирования (/ф^г,). Заменяя, аналогично тому как это было сделано в
предыдущем случае, точную концентрацию в уравнении (18.13) б-функционной:
В этом приближении энергия и волновая функция основного состояния
определяются выражениями
\Е\ = иЦг1 i|Jo(r) -n-V'^/r^v.expf--и^/го), (18.17)
а уравнение (18.16) приобретает вид
Произведенная выше замена концентрации с0(г) на б-функцию справедлива,
если характерное расстояние R ~ rewf1T~1/", на котором она меняется, мало
по сравнению с радиусом г0 затравочного потенциала, т. е. при Левая часть
этого неравенства для
сгй3ехр п(г-г')ф§(г') dr'} -*-1^6 (г),
получаем уравнение для их:
и*- с/о* J ехр J гг (г-г-") ярН (г') <ii-' | dr, (18.16)
где
или
(18.18)
223
глубоких уровней имеет порядок
что и доказывает правомочность использования в этом случае уравнения
(16.5).
Плотность состояний в пуассоновской области спектра согласно
(18.3) определяется формулой
Если в правой части этого соотношения ограничиться лишь первым слагаемым
иjT, то для плотности состояний с учетом (18.17) и (18.18) снова имеем
результат (16.15). Однако с помощью (18.20) можно получить и следующий
член асимптотического разложения Ф (Е). Для этого необходимо вычислить
энергию основного состояния из уравнения (18.12) с концентрацией (18.19)
с точностью до членов порядка т"х. Такое вычисление дает
откуда окончательно получаем следующий результат, обобщающий
Здесь D (г|) = (2т(1г])/Зя)*/2 е~1, а функция т(г|) удовлетворяет
уравнению (18.18) с и\ - т|:
т= In [т^с-1 (2т/3л)*/*].
в) Наконец, фермиевская область спектра соответствует флуктуациям, для
которых с0 (г)" / в объеме ДК". При малой концентрации с<^1, |1пс|>1,
можно показать, что на флуктуации концентрация максимальна: с0(г)"/. Это
подтверждает правильность выбора класса пробных функций в вариационном
методе § 17.
18.3. Примеси малой интенсивности. Фермиевский участок спектра в терминах
макроскопического подхода связан с флуктуациями, в ядре которых ДУ0
концентрация близка к максимально допустимой: с0(г)&/. Этот участок
соответствует самым глубоким уровням, где плотность состояний ничтожно
мала. Однако
Подставляя сюда выражение для концентрации
(18.19)
получаем
Ф (?) = "! (т-5/2).
(18.20)
или
(16.15) [126]:
Ф (Е)=г( I ? I Г%у/*1п
(18.21)
224
при определенных соотношениях между основными параметрами задачи с, /, /
этот участок может примыкать к окрестности среднего потенциала U, где
плотность состояний существенно больше, чем в непосредственной
окрестности истинной границы. В частности, выполнение условия /-1,
означающего, что ямы и (г-г^) от отдельных примесей не перекрываются,
приводит к тому, что флуктуационная область может содержать лишь
гауссовский, соответствующий длинноволновым флуктуациям, и фермиевский
участки. Более того, гауссовская асимптотика (15.9) плотности состояний
проявляется лишь в пределе ям малой интенсивности
J<t I-
Итак, рассмотрим поведение плотности состояний в системе с /-1, /<^1. Для
определенности будем полагать, что потенциальные ямы и (г) таковы, что
истинная граница находится в точке Етр = - Jrо2. В одномерном случае
система уравнений
(18.11)- (18.12) может быть решена точно. Особый интерес представляет
исследование предельного случая, соответствующего малой концентрации
с<^1, |1пс|^>1. При этом фермиевский участок существенно расширяется, так
что границы его определяются неравенствами 1 ^ е^>| In с|-1, где г -
Е1Етр. Это означает, что фермиевский участок практически целиком
охватывает флуктуа-ционную область, за исключением лишь узкого
гауссовского участка и узкой переходной области между гауссовским и
фермиев-ским участками. Для плотности состояний в этой области получаем
[140]
- In р (Е) - Ф (Е) = | In с j [е(1 -е)]-1/* arcsin е1/*.
Экстремальные флуктуации имеют (в смысле зависимости концентрации с0 от
координаты х) почти прямоугольную форму. В ядре флуктуации, радиус
которого порядка /,0[/е(1 - e)]_1/lX xarccos(l - в)1/*, концентрация
близка к максимальной 1-с0(0)~ - ехр [(1-е)-1 г lnc]<^ 1 и практически не
меняется: 1-с0 (х)[ё<^.\. Затем на малом по сравнению с радиусом ядра
расстоянии ~г0(1-е) {У J г ln2^)"1 концентрация с0(х) спадает до значений
порядка средней концентрации с.
Физически очевидно, что такая форма экстремальной флуктуации вовсе не
специфична для одномерной задачи. Более того, для флуктуации большого
радиуса задача о ее форме должна эффективно сводиться к одномерной,
поскольку кривизна флуктуации влияет не на толщину, а лишь на структуру
