Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
этом нет необходимости в силу следующих соображений. Коэффициент диффузии
примесей, как правило, резко спадает при некоторой характерной
температуре Г0. Это позволяет считать, что при более низких температурах
Т < Т0 подсистема примесей описывается равновесным распределением Гиббса
с температурой замораживания Т0 [156]. Если к тому же характерное
расстояние, на котором меняется энергия взаимодействия двух примесей W
(г), велико по сравнению с расстоянием между примесями на экстремальной
флуктуации, то полная энергия взаимодействия примесей также может быть
записана в терминах макроскопической плотности примесей и равна
х/2 J W(r-r')n (г) л (гf) dr dr',
а для функционала S[n], определяющего плотность вероятностей в (18.2),
получаем
5 М = W J ^ (г "г#)п ^ п ^ dr dr' ~
- ri J [а (л (г))-а (и) - (и (г) - л) а' (л)] dr.
Предполагая теперь, что плотность энтропии а (л) имеет тот же вид, что и
при получении формулы (18.9), для плотности состояний в пуассоновской
области спектра ~с<^.с0(г)<^.1 имеем
Ф (?>= Щ J W (r " r') (г) с° dr dr' + ro d J ~ (co -°)] dr>
(18.28)
а уравнение (18.11) приобретает вид
In&a+^Jv (г-r')c,(r')dr' = -P|и(г-г')1Й(г')*'. (18.29)
Наличие в левой части этого уравнения второго слагаемого, в котором
неизвестная концентрация находится под знаком интеграла, сильно усложняет
задачу. Однако в случае, когда потенциалы и (г) и W (г) совпадают (по
крайней мере с точностью до
228
множителя), задача может быть решена до конца. Пусть, например, примеси
представляют собой однозарядные ионы, так что
W (г) - -"(r) = ^~r{rs
(сомножитель e~r^rs, описывающий экранировку, по соображениям, изложенным
выше, в дальнейшем будем опускать). Тогда вместо (18.29) получаем
lna|2+^! j__L_ Со (г0 dr, _ р (г') dr'. (18.30)
Поведение решений системы (18.30), (18.12) и вид окончательного
результата нетрудно выяснить, исходя из следующих соображений. Пусть
температура замораживания Т0 в некотором смысле велика. Тогда для не
очень глубоких уровней учет слагаемых с 70 в (18.30) и (18.28) является
превышением точности. Это означает, что концентрация имеет вид (18.19) с
%- In
"У (I-)'7-], /? = г0Кз[2|?|г0Чп<у]
а. плотность состояний описывается формулой (18.21).
Исследование пределов применимости этого результата показывает, что такая
асимптотика в случае /^(7Vo)2 справедлива во всей пуассоновской области.
Если же температура замораживания Т0 такова, что то результат
(18.21) справедлив
лишь в области энергий
/ с<^|?|гК7>"1п^.
Наоборот, для более глубоких уровней, лежащих в пуассоновской области
7y;inffi?^<^|?|r!"gK7,
с
малыми являются слагаемые энтропийного происхождения в (18.28) и (18.30).
Из последнего уравнения в этом случае следует:
c"(r)-W(r).
Подставляя это выражение в (18.12) и переходя к переменным
г = 1Е |-v. х, ^ (г) = У Y, (X),
получаем уравнение без параметров для определения ^(х):
- ЛЧ'0 + Т.-Т. (х) J = о.
Плотность состояний на этом участке спектра, как уже отмечалось, в
основном определяется энергетическим слагаемым в (18.28)
229
и имеет вид [125, 126]
-1пр(?)-Ф(?) = -ЬН|?|г"Ч
Лм о
(18.31)
В переходной области | Е | ~ T^ln [(7Уо)а/с] обе формулы для плотности
состояний, (18.21) и (18.31), приводят к результатам, совпадающим по-
порядку величины.
Всюду в этом параграфе при рассмотрении системы заряженных примесей мы
пренебрегали экранированием. Для достаточно больших значений радиуса
экранирования, г , это пре-
небрежение справедливо, так как при этом радиус R экстремальной
флуктуации мал по сравнению с rs во всей пуассоновской области спектра. В
противоположном случае, rslr0<^c-^*, интервал применимости результатов
(18.21), (18.31) очевидным образом сужается со стороны малых значений | Е
|, и мы не будем останавливаться на этом.
18.5. Система с короткодействующими линейными дефектами* Изложенный выше
макроскопический подход может быть применен к задаче о спектре электрона
в системе неупорядоченных короткодействующих линейных дефектов
(дислокаций). Ограничимся простейшей моделью и будем считать, что
дислокации прямолинейны и проходят через весь кристалл. Параметры,
определяющие положение отдельных дислокаций, предполагаются независимыми
равномерно распределенными случайными величинами (идеальный газ
протяженных дефектов). Единственной характеристикой такого ансамбля
является среднее расстояние I между дислокациями, параллельными
произвольному фиксированному направлению. Потенциал взаимодействия
электрона с дислокацией не зависит от координаты вдоль ее оси и равен -
Ум (г^), где г±-двумерный радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной к
оси дислокации, а и(г±)-6-образная функция с некоторым радиусом
размазывания rs и нормировкой J и (г±) dr± - 1. Интенсивность У
дислокационного потенциала предполагается малой: У <5^1. Физической
реализацией такой модели может служить система заряженных дислокаций в
полупроводнике. В этом случае г$ по порядку величины совпадает с радиусом
экранирования заряда, связанного с дислокацией. Оценки показывают, что
