Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
для разумной концентрации дислокаций l^>rs.
В рассматриваемом предельном случае /<^1 в поле отдельной дислокации
имеется двумерное связанное состояние электрона с энергией связи /_2ехр
(-У "х), экспоненциально близкое к краю затравочного непрерывного
спектра. Поэтому для образования достаточно глубоких уровней необходимы
скопления большого (по параметру У-1) числа дислокаций, что обусловливает
приме-
230
нение макроскопического подхода. Введем новые координаты х- и
определим двумерную концентрацию дислокаций,
параллельных данному направлению п (п2 = 1), соотношением
?п (Хд) - J dNп (хп )/dxп ,
где Хд - двумерный радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной к n, a
dNп(хп)-число дислокаций, параллельных п и пересекающих элемент площади
dxn. Однородному распределению дислокаций отвечает с - 1.
Основные уравнения этого параграфа (18.4), (18.5) и соотношение
(18.3) приобретают вид (экстремальная флуктуация предполагается
изотропной, с" (х) =г с (х)):
где | Е112, а /-2о(с) есть плотность энтропии системы параллельных
дислокаций с однородной концентрацией с. Идеальному газу дислокаций,
рассматриваемому ниже, соответствует п(с) = - -cln (с/е). Выражение
имеет простой физический смысл: если представить дислокацию как
совокупность воображаемых точечных дефектов, расположенных вдоль ее оси,
то с0(х) есть обычная трехмерная концентрация этих дефектов на
экстремальной флуктуации. В изотропном случае (c(xj_) - c(jcj_))
двумерная с и трехмерная с концентрации согласно (18.35) связаны
соотношениями
В окрестности среднего потенциала, г-е<^1, е = 2л/ (гауссовский участок
спектра), линеаризуя систему (18.32), (18.33)
по с0-с и производя замену
-Афо + fJe-V2 J ?0 (х п (пх)) dn] - 0, (18.32)
(18.33)
ф (") = Щ' J (а (рй)-а(с)~(с0-с)о' (с))dxu (18.34)
(18.35)
X
*1-
(18.36)
'В <*L. х3) = (v)'"' '-Ят1 Ч'" (Ух, У,),
231
приходим к уравнению для не содержащему параметров: - AT.+Т. - Ь j dyL j"
dys = 0.
0 -ОО ^
Показатель экспоненты плотности состояний выражается церез решение этого
уравнения следующим образом [143]:
ф(в):=,1(Т2^)1 Л(в-ё),
где
(Уъ Уз) dy3 ^ У\АУ\.<
На пуассоновском участке спектра концентрация дислокаций на флуктуации
значительно отличается от средней с - 1. Поскольку плотность состояний не
очень чувствительна к деталям формы флуктуации, естественно применить
прямой вариационный метод. С целью выбора подходящего класса пробных
функций заметим следующее. Для всех двумерных концентраций с{хj_) таких,
что
с (*±) >с, |$ {с-с) y±dy± | < оо
(последнее условие связано с сохранением полного числа дислокаций в
системе), соотношение (18.36) приводит к такой асимптотике с(х) при х -*¦
оо:
оо
"г - _ 2п С
c(x) = 2nc+-2\j И*х)- c)xLdxL. о
Этот результат легко понять, так как совокупность дислокационных трубок
конечного радиуса, исходящих из центра флуктуации, переносит в точку х
избыточную концентрацию воображаемых точечных дефектов, пропорциональную
телесному углу, под которым ядро дислокации видно из точки наблюдения х.
Естественно поэтому рассмотреть класс пробных функций вида
|2лс0, ^ х X,
с (*) - |2жГ-(- 2я (с0 - с) ^-2, х>Х.
Вариационными параметрами здесь являются радиус X и концентрация с0 в
ядре флуктуации. Минимизация выражения (18.34) по этим параметрам с
учетом уравнения Шредингера (18.32) приводит к результату [143]
Ф (е) = 2я/а (в) J~4n (ее'1),
где /(е) ~ 1 -медленно изменяющаяся функция энергии.
232
§19. Общая структура спектра вблизи его границ
19.1. Флуктуационная граница. В начале этой главы отмечалось, что
флуктуационная область спектра в зависимости от параметров потенциала
отдельной примеси и(г) и вида распределения случайных точек в (1.7) может
быть разбита на ряд характерных участков, в каждом из которых исходный
случайный потенциал для вычисления плотности состояний может быть заменен
некоторым эффективным. Вид эффективного потенциала и соответствующая ему
асимптотика плотности состояний меняются от участка к участку. По
существу, основное содержание предыдущих параграфов этой главы и
заключалось, во-первых, в классификации характерных участков и
эффективных потенциалов на них и, во-вторых, в получении соответствующих
асимптотик Ф(?). В этом параграфе мы рассмотрим структуру флуктуационной
области в целом для случайного потенциала U (г), имеющего вид (1.7) и
порожденного не взаимодействующими (кроме примера 4) между собой
примесями, образующими решеточный газ. Однако в зависимости от параметров
потенциала отдельной примеси и (г) и размерности задачи d во
флуктуационной области проявляются те или иные асимптотики плотности
состояний.
1. В качестве первого примера мы рассмотрим трехмерную систему
примесей малой интенсивности /<^1. Пусть концентрация примесей высока,
а параметр перекрытия на-
столько велик, что 1п(//с)>1. Этот случай соответствует очень мелкой и
протяженной яме и (г), создаваемой отдельной примесью.
Средний потенциал в такой задаче имеет порядок U ^r^cJ, а ) Егр J ~ Tq4J.
