Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
слагаемого U в формуле (19.2).
Взаимодействие примесей, как показано в § 18, существенно изменяет
структуру пуассоновской области. На ближнем ее участке реализуется
асимптотика (18.21):
которую при больших значениях \Е\ сменяет формула (18.31):
19.2. Устойчивая граница. Флуктуационный характер поведения плотности
состояний на границе спектра, обсуждающийся в этой главе, не является
единственно возможным. Как было указано в § 4, на устойчивых границах это
поведение совсем иное - плотность состояний здесь близка к плотности
состояний упорядоченной системы. Примеры таких асимптотик были получены в
§ 7 для одномерного случая (см. (7.23), (7.24)), но используемый при этом
метод не переносится на случай большего числа измерений. Поэтому мы
приведем здесь простые качественные соображения, поясняющие вид
соответствующих асимптотик. В случае устойчивой границы на бесконечном
расстоянии (точки В = -|- оо для уравнения Шредингера со случайным
потенциалом)
Ви(0) = 8ncrs/rl 1 < | Е | rt <^с (г5/г0у/%
Ф(?) = |Е|'/.г"1п r(|?I'°)2P(|f|/¦§)!.
С'
c'/-^\Elrl<^Tarl\nV^y 1п(-ЩД>1,
С С
Го* 0 С
т
первый член асимптотики <М*(Е) всегда имеет вид ~Edl%y совпадающий с
числом состояний свободных частиц. Зависящим от вида случайного
потенциала оказывается здесь следующий член асимптотической формулы (см.
(6.20), (7.24)).
В качестве типичной модели, в которой устойчивая граница находится на
конечном расстоянии, рассмотрим дискретную модель, определяемую
уравнением вида
Н и = Еи, (19.8)
(Ни)" - Jпй (ип Мп+й),
6
где п -векторы d-мерной решетки, которую мы будем считать простой
кубической, а векторы 8 принимают значения из некоторой окрестности
начала координат решетки, так что п + 8 при фиксированном п есть
координаты соседей (не обязательно только ближайших) точки п.
Гамильтониан такого вида описывает гармонические колебания решетки со
случайными упругими константами, а также спиновые волны в изотропном
неупорядоченном гейзенберговском магнетике (в этом случае (19.8) есть
линеаризованные уравнения движения для спиновых операторов).
Мы будем предполагать, что величины Упв неотрицательны. В случае фононов
это условие выполняется всегда, в случае спиновых волн оно означает, что
речь идет о ферромагнетике. Ясно, что спектр оператора (19.8) заполняет
отрезок (0, 4dJM), где Jш-максимальное значение случайных величин /"в
(дополнительным условием, обеспечивающим справедливость этого
утверждения, является убывание при я -> оо корреляций между Jпй> что, в
частности, исключает возможность периодического их распределения). При
этом точка 4dJM является флуктуационной границей, а точка 0 -устойчивой.
Последнее вытекает из того, что при любой реализации случайных величин
/"в амплитуда "п - const является, с точностью до поверхностных членов,
собственной функцией Н, отвечающей собственному значению, равному нулю.
Покажем теперь, что плотность состояний не может обращаться слишком
быстро в нуль при Е ->¦ + 0. Действительно, из вида, отвечающего
оператору (19.8) диагонального матричного элемента
1/й 2 *^пб (^п Ип+б)2,
п, б
ясно, что при увеличении любого из /пв уровни смещаются вправо, а значит,
число состояний $*(Е) уменьшается. Поэтому, обозначая через <№м (Е) число
состояний гамильтониана (19.8), в котором все Jn& = JM, придем к
неравенству
сГ(?)>:ад?). (19.9)
Но, как хорошо известно [114], о)?*м(Я) ПРИ Е-+-\-0 ведет себя щк Еа>г
(соответствующий закон д,исперсиц рдоеет ВОД Д(к) -
= 2JM J] (1 -созкб) 4JMa2K2, где а-период решетки, и, значит,
в
при ?-*+0 величина <М*м(Е) z?,Cd(E/JMa%)d/2. Поэтому полученное
неравенство означает, что плотность состояний в любой размерности
обращается в нуль не быстрее, чем эта же функция в упорядоченной системе.
В одномерном случае, как показывает формула (7.23), функция ?1/г является
не только оценочной для JST (?) при ? ->- + 0, но и отвечает точному
асимптотическому поведению. Тот факт, что коэффициент при ?'/"
пропорционален <У_1>, позволяет понять роль малых значений /Пб- А именно,
они ответственны за большие значейия этого коэффициента, и поэтому можно
предположить, что плотность состояний будет обращаться в нуль медленнее,
чем Ed/2~\ лишь в том случае, когда все с заметной вероятностью будут
принимать нулевые значения. Подтверждением этого являются следующие
аргументы. Во-первых, если все Jnf> ^ Jт > 0, то соображения, аналогичные
тем, которые привели к оценке (19.9), дают неравенство
оПЯ)<ЛГ"(Я),
и оtfm{E) (число состояний идеальной решетки, в которой все Jn6z=Jm) при
?-^4-0 ведет себя как Cd(E/Jma2)di2. Во-вторых, если, согласно [144,
145], предположить, что собственные функ-. ции, отвечающие близким к нулю
энергиям, имеют вид блохов-ских волн*) Ипк -характеризующихся законом
дисперсии ? (к), то, разлагая ипк и ? (к) по малым к, найдем, что
? (к) = Dk2 -\-6(к2),
где D-положительная неслучайная величина, зависящая от параметров
распределения вероятностей случайных величин Jnв. Так, если /"в = где
